*. Конечные абелевы группы

Прямое произведение подгрупп

Введем важную конструкцию, позволяющую группу «раскладывать на множители», подобно тому как всякое натуральное число можно разложить на простые множители.

Определение 1.20. Говорят, что группа G равна прямому произведению своих подгрупп А и В, если выполнены следующие условия:

• 1) А =4 G, В =4 G;
• 2) А п В = {е} — единичная подгруппа;
• 3) Группа G порождается подгруппами А и В, т. е. всякий элемент группы G представим в виде произведения элементов, взятых из Л и В.

Обозначение: G =А х В. В случае аддитивной терминологии говорят о прямой сумме подгрупп и записывают G=A® В.

Теорема 1.20 (критерий прямого произведения). Группа G равна прямому произведению своих подгрупп А и В тогда и только тогда, когда всякий элемент из, А перестановочен со всяким элементом из В и всякий элемент g е G однозначно представим в виде произведения g = ab, где ае А, Ь е В, т. е. если также g = аф^ dj е А, Ъ_г е В, то а = а_1г b = b_v

Доказательство. (=>) Пусть G = А х В. Для произвольных элементов а е А, b е В рассмотрим элемент a" ¹b" ¹ab. С одной стороны, поскольку А⁴ G, то а^-1Ь^-1аЬ = аг¹ • Ь^_1аЬ е А (так как Ь^_1аЬ е А), с другой стороны, так как В =4 G, то а^_1Ь^_1аЬ = = а" ¹Ь~¹а-be В (посколькуа^-1Ь-¹ае В).Следовательно, a-¹b^_1abе е А п В. Но по условию 2) из определения 1.20 АсВ = {е}. Следовательно, a" ¹b" ¹ab = е, откуда ab = Ъа.

Из доказанного и пункта 3) определения 1.20 следует, что всякий элемент g е G представим в виде g = ab, где а е А, Ъ е В. Пусть g = а₁Ь₁. Тогда ab = а₁Ь₁, откуда af ^аа = ДЬ^-1. Но по пункту 2) определения 1.20 А п В = {е}. Следовательно, af¹a = b₁b^_1 =е, откуда a = a_vb = b_v

(<=) Пусть всякий элемент из подгруппы А перестановочен со всяким элементом из подгруппы В и всякий элемент g е G однозначно представим в виде произведения g = ab, где а е А, b е В. Тогда A=4G, B =4GnG-(A, B). Остается доказать, что А п пВ- {е}. Но предположив, что e*ge АглВ, получаем g-ae А и g = b е В, откуда g — а? е — е? Ь, что противоречит единственности представления. Теорема доказана.

Распространим определение прямого произведения на случай произвольного конечного числа подгрупп.

Определение 1.21. Группа G называется прямым произведением подгрупп Н_ь Н₂,…, Н_к, если выполнены следующие условия:

• 1) подгруппа Я, G для любого i = 1, 2, …, к;
• 2) каждая из подгрупп Я, пересекается с подгруппой, порожденной остальными подгруппами, по единичной подгруппе;
• 3) группа G порождается данными подгруппами.

Упражнение 1.6. Подобно теореме 1.20 сформулируйте и докажите аналогичный критерий прямого произведения нескольких подгрупп.

Приведем примеры.

• 1. Мультипликативная группа действительных чисел R* = = Ах В, где А = {1, -1}, В = Ё⁺ — мультипликативная группа положительных действительных чисел.
• 2. Напомним, что мультипликативная группа корней т-й степени из единицы определяется как С_т = (е), где е = cos (2п/п) + + isin (2rc/n). Имеем: С₆ = (е²) х (е³).
• 3. Аддитивная группа целых комплексных чисел Z + Zi = = Z ® Zi.
• 4. Аддитивная группа рациональных чисел Q не разложима в прямую сумму ненулевых подгрупп, так как любые две ее ненулевые подгруппы имеют ненулевое пересечение (докажите!).