Линейная и дробно-линейная функции

1. Линейная функция. Функция.

где а и Ь — заданные комплексные числа и а ф 0, называется линейной функцией. Так как w‘ = а ф 0, то отображение (9.1) является конформным во всей плоскости С. Докажем, что оно также однолистно в С. Если W = az + b, wo = azo + b, to W — wo = a (z — zo). Поэтому при Z Ф 2*2 получаем, что wi Ф и однолистность установлена. Положив, но определению w (oo) = ос, получим однолистное отображение всей расширенной комплексной плоскости С на С.

Для изучения геометрических свойств отображения (9.1) рассмотрим вначале случай b = 0, т. е. w = az. Пусть а = |a|e^m, z = |z|e^iv>. Тогда Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие два действия:

• 1) умножить заданный вектор 2 на а. При этом направление вектора z останется прежним, но длина увеличится в |а| раз. Значит, умножение на а есть преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия |я|;
• 2) повернуть полученный вектор |а|г на угол а.

Для рассмотрения общего случая (9.1) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор Ь.

Итак, отображение (9.1) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|; 2) поворота вокруг начала координат на угол а; 3) параллельного переноса на вектор Ь.

Пример 9.1. Найти линейную функцию, отображающую квадрат D со стороной 2 на квадрат Е со стороной 4 (рис. 19) и точку А в точку В.

Рис. 19.

Р е ш е н и е. 1. Подберем преобразование подобия, переводящее D в квадрат D со стороной 4. Так как коэффициент подобия равен 2, то нужное преобразование есть w = 2z. Точка Д (2/2, /2) перейдет в .4,(4n/2,2/2), А' в А.

2. Повернем получившийся квадрат D относительно начала координат так, чтобы сторона АА стала параллельной стороне В’В. Получившийся квадрат обозначим D). Очевидно, что нужный поворот будет на угол 45° против часовой стрелки; это преобразование запишется в виде од = оде^|7Г'⁴. Точка А перейдет в.

3. Осталось сделать параллельный перенос квадрата D> на вектор Л-2 В. Учитывая, что В = 6 + 2 г, имеем А) В = 4 — 4 г и ш = 1У2 + + 4 — 4 г. Итак,.

и искомое линейное отображение w = az + b получено:

Вопрос. Сколько существует различных линейных функций, отображающих квадрат D на квадрат Е? Найдите еще одну из них.

Заметим, что на каждом из трех этапов линейного отображения (преобразование подобия, поворот, параллельный перенос) прямые переходят в прямые, а окружности — в окружности. Следовательно, этими свойствами обладает и линейное отображение (9.1).

2. Дробно-линейная функция. Перейдем к изучению дробнолинейной функции, определяемой равенством.

и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как

то естественно определить ш (ос) = а/с, w (—d/c) = ос. Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости С.

Если с = 0, то w = ^ ² + ^ ^и дробно-линейная функция сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что с Ф 0.

Умножим числитель и знаменатель дроби (9.2) на с и добавим в числителе +ad — ad. Тогда дробь (9.2) можно представить в виде.

Если be — ad = 0, то w = а/с и функция (9.2) сводится к постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия.

Поэтому каждое значение w Ф а/с и w ф оо имеет только один прообраз 2 ф —d/c и 2 ф оо. Но в силу определения значению w = а/с

Покажем, что дробно-линейная функция (9.2) осуществляет взаимно-одпозначпое отображение С па С. С этой целью решим уравнение (9.2) относительно 2 (это возможно при z Ф —d/c, z ф ос, w Ф а/с, w ф оо):

соответствует 2 = оо, а. значению w = оо величина 2 = —d/c. Итак, каждая точка w € С имеет только один прообраз 2 € С, что и требовалось до казать. Установим теперь конформность отображения (9.2). Так как.

то при 2 Ф —d/c и 2 ф оо производная w' существует и не равна нулю. По теореме 8.1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.

Для выяснения конформности при z = —d/c и z = ос нам понадобится следующее определение.

Под углом между двумя линиями в точке 2 = оо понимается угол между образами этих линий при отображении w = — в начале координат.

Пример 9.2. Найти угол между ветвью параболы у = х², х ^ 0, и х

лучом у = в точке 2 = оо (рис. 20, а), v 3.

Рис. 20.

Р е ш с п и с. Любую точку параболы можно записать в виде.

причем ?fir) —v тг/2 при г —> ос. Любая точка луча имеет вид 2 = ге'~^/ь. При отображении w = - точки параболы перейдут в.

При г -> оо будет w = — —> 0, argto = — — Значит, ветвь пара;

г 2.

болы отобразится в кривую, касающуюся оси OY (рис. 20, б). Для точек луча Значит, луч отобразится в луч, симметричный исходному лучу относительно оси ОХ. Угол между образами кривых в плоскости переменного w равен, очевидно, 7г/3; это и будет, по определению, угол между исходными кривыми в точке z = оо.

Поясним, почему угол между линиями в бесконечно удаленной точке вводится именно так, как указано в определении (почему, например, выбирается отображение w = 1/г, а не w = 1 /г²). Пусть линии 71 и 72 пересекаются в точке zo? С, и пусть Г1 и Г2 — образы этих кривых на сфере Римана при стереографической проекции (см. рис. 11). Тогда угол между 71 и 72 будет равен углу между Гi и Гг (доказательство этого фак та мы не приводим). Пусть теперь линии 71 и 72 пересекаются в точке г = оо (т.е. 71 и 72 уходят сколь угодно далеко от начала координат). Тогда их образы Гi и Гг будут пересекаться в точке Р (рис. 11). Естественно под углом между 71 и 72 в точке 2 = оо понимать угол между Г1 и Гг в точке Р. Применим к 71 и 72 преобразование w = l/z. Они перейдут в кривые 7J и 7J, пересекающиеся в начале координат; под тем же углом пересекаются и образы Г|, Г₂ этих кривых на сфере Римана. Теперь приведем без доказательства следующее свойство преобразования w = l/z: угол между Г i и Г₂ равен углу между Г*1 и Г-2. Более тот, угол между любыми (гладкими) кривыми на сфере Римана не меняется при отображении tv = l/z. Поэтому угол между Г1 и Гг в точке Р равен углу между 7J и 7₂ в точке 2 = 0, что и объясняет разумность принятого определения угла в бесконечно удаленной точке.

Отображение называется конформным в точке, z = 00, если оно сохраняет углы между любыми двумя кривыми, проходящими через эту точку.

Теперь мы готовы к рассмотрению конформности отображения (9.2) в точках 2 = — d/c и 2 = оо.

Пусть 71 и 72 — два пути, проходящие через точку z = — d/c и пересекающиеся в этой точке под углом а. Дробно-линейное отображение (9.2) переведет их в кривые 7J и 72, пересекающиеся в точке w = 00. Чтобы найти угол между ними, следует, по определению, отобразить и 7₂ с помощью функции W = 1 /ги в кривые 7″, 72 и определить угол между 7″ и 72 в точке W = 0. Отображение 71 и 72 в 'у" и 72 имеет вид.

Производная в точке 2 = —d/c существует и отлична от нуля. Следовательно, угол между 7″ и 72 в точке W = 0 равен ш; значит, угол между и 7J также равен о. Таким образом, отображение (9.2) сохраняет угол между кривыми в точке 2 = — d/c. Растяжение в этой точке при отображении (9.2) равно ос по любому направлению и, следовательно, не зависит от направления. Поэтому отображение (9.2) является конформным в точке 2 = — d/c.

Рассмотрим конформность в точке 2 = оо. Пусть кривые 71 и 72 пересекаются в точке г = ос под углом а. Это означает, что образы 7I и 7₂ этих кривых при отображении W = - пересекаются под углом а в точке W = 0.

Обозначим через у" и 7? кривые, в которые переходят 71 и 72 при отображении (9.2). Надо доказать, что угол между 7'/ и 7J в точке w = а/с (образе точки z = ос) равен а. С згой целью найдем отображение, переводящее 7! и 72 в у'{ и 72. Выразим z из равенства W = 1/z и подставим в (9.2):

Производная этого отображения по переменному W равна.

в точке W = 0 она существует и отлична от нуля (см. (9.4)). Поэтому угол между 7I и 72 в точке W = 0 равен углу между у" и у" в точке w = а/с. Это и означает, по определению, что отображение (9.2) является конформным в точке z = оо.

Полученные результаты сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 9.3. Дробно-линейная функция

осуществляет взаимно-одно:тачное_ и конформное отображение расширеппой комплексной плоскости С на всю С.

Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 9.3, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме 9.3.

Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно болыпот радиуса.

Т е о р е м, а 9.4. При дробно-линейном отображении (9.6) окру ж— пости всегда переходят в окруж ности.

(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т. е. в прямую, и наоборот.).

Доказательство. Рассмотрим уравнение.

где А. В, С. D — действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Вх + Су + D = 0, т. е. уравнение прямой. Если А ф 0, то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству.

которое определяет либо окружность, если справа +R², либо точку, если R = 0, либо пустое множество, если справа —Я². С другой стороны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать уравнением вида (9.7).

Докажем вначале круговое свойство для отображения w = l/z. Возьмем произвольную окружность на комплексной плоскости. Она задается уравнением (9.7). Обозначим z = х + iy, w = и + iv. Равенство w = l/z даст z = 1/w, или.

откуда.

Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет окружность при отображении w = l/z, подставим в (9.7) найденные выражения для х и у:

или Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (9.7), но в плоскости переменного w = и + iv. Как мы видели ранее, такое уравнение определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и круговое свойство отображения w = l/z установлено.

Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного отображения (9.G). Если с = 0, то получим линейное отображение w = az + b, которое сводится к растяжению с поворотом и сдвигу. Каждое из этих преобразований, очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения ш = a + b данное свойство имеет место.

Пусть теперь с Ф 0. Воспользовавшись равенством (9.3), представим дробно-линейное отображение в виде.

а _ be — ad ~ d.

где Е = F = —-—, G =

С с^г С

Из равенства (9.8) следует, что дробно-линейное отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований: 1) w = z + G] 2) wo = 1/te; 3) w = E + Fwo. Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Чтобы сформулировать еще одно свойство дробно-линейных отображений, нам понадобиться следующее определение.

Точки А и А! называются симметричными относительно окружности радиуса R < оо, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и.

Рис. 21.

Если точка А приближается к окружности (см. рис. 21), т. е. если О, А —> R, то О А' тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если О Аь —> 0, то О А¹ —> оо. Поэтому для точки О симметричной будет бесконечно удаленная точка. Под симметрией относительно окружности радиуса R = оо понимается обычная симметрия относительно прямой.

Л е м м, а 9.5. Для того чтобы, точки, А и А' б1*ли симметричными относительно окружност1 Г (возможно, бесконечного jtaduyca), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через Л и А', была перпендикулярна Г (рис. 22).

Доказательс т в о. Необходимсхль. Пусть точки Ли А¹ симметричны относительно окружности Г. Проведем произвольную окружность Г' через точки Л и А', и пусть В — точка пересечения окружностей Г и Г'. По известной теореме о секущей и касательной произведение секущей О А! на ее внешнюю часть ОА равно квадрату касательной. В то же время, в силу симметрии, О А • О А' = Я". Значит, радиус ОВ является касательной к окружности Г⁷. Поскольку радиус О В перпендикулярен касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г'.

перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г⁷ — прямая (это будет в случае Л = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.

Достаточность. Пусть точки Л и А' таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г иод прямым углом (см. рис. 22). Докажем, что Л и Л' симметричны относительно Г. Так как прямая АА! перпендикулярна Г. то она проходит через точку О. Значит, точки О, Л, А' лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки Л и А' лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром АА' не была бы перпендикулярна Г.

Проведем произвольную окружность Г^; через Л и А' с радиусом R' < оо. Пусть В — точка пересечения Г и Г⁷. По условию, Г и Г' пересекаются иод прямым углом. Поэтому радиус О В будет касаться Г'. По той же теореме о секущей и касательной О А • О А! = Я². Следовательно, точки А и А' симметричны относительно Г.

Мы доказали лемму 9.5 в случае R < оо. Если R = оо, то рассуждение существенно упрощается, и мы предлагаем провести его читателю самостоятельно.

Теперь мы ечуговы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):

Теорема 9.G. При дробно-линейном, отображении (9.6) пара точек, симметричных относительно окружности (о частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных отуюсителъпо образа этой окруж ности.

Доказательство. Пусть точки z и z? симметричны относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (9.6) Г перейдет в кривую у, которая по теореме 9.4 также является окружностью; точки z и z-2 перейдут в точки w i и w-2- Надо доказать, что w и wo симметричны относительно у. Возьмем любую окружность У, проходящую через W и wo, и рассмотрим ее прообраз Г' при отображении (9.6) (т.е. множество точек на плоскости переменного 2, переходящих в 7^;). Для этого выразим г из уравнения (9.6):

Мы видим, что Г' получается из у' также дробно-линейным отображением. Поскольку у¹ является окружностью, то по теореме 9.4 Г' тоже окружность. Так как Г' проходит через точки z и 22, симметричные относительно Г, то по лемме 9.5 окружность Г' перпендикулярна Г. В силу конформности дробно-линейного отображения и у' перпендикулярна 7. По лемме 9.5 отсюда следует, что точки w и w-2 симметричны относительно у, и доказательство завершено.

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

П р и мер 9.7. Найти дробно-линейную функцию, отображающую верхнюю полуплоскость Im 2 > 0 на внутренность единичного круга |ш| < 1.

Р е ш е н и е. Пусть 20 — точка верхней полуплоскости, переходящая в центр единичного круга, т. е. w (zo) = 0. По теореме 9.6 точка 2о, симметричная точке Zq относительно действительной оси, должна переходить в точку w = 00, симметричную точке w = 0 относительно окружноеги |щ| = 1. Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям w (zq) = 0, w (zq) = 00, имеет вид.

где А комплексная постоянная. Но эта постоянная не вполне произвольна, так как при действительном значении z = х точка w должна находиться на единичной окружности и, следовательно, w = 1. Учитывая, что при z = х

Следовательно, .4 = и искомая функция имеет вид получим.

Мы видим, что существует бесконечное множество дробно-линейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа р и комплексного числа го-

Пример 9.8. Найти дробно-линейную функцию, отображающую единичный круг z < 1 на единичный круг w < 1.

Решение. Пусть zq — точка круга z < 1, переходящая в точку w = 0. Тогда точка z'₀, симметричная точке zo относительно окружности z = 1, должна перейти в точку w = оо, симметричную точке w = 0 относительно окружности |w| = 1. Выразим z'₀ через zq. Так как zq и z'_Q лежат на одном луче, исходящем из точки z = 0, то Zq = kzo, где к — положительное число. В силу (9.9) zo z'₀ = 1, т. е. kzo'² = 1, откуда к = 1/|го|² и (см. (2.4)).

Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям w (zo) = 0, w (1/zq) = оо, имеет вид.

где А комплексная постоянная. Константа А не произвольна, так как точки окружности z = 1 отображаются в точки окружности |w| = 1. В частности, |ш| = 1 при z = 1. Поэтому.

так как |1 — zo = |1 — 2о. Следовательно, — Azq = e^tlf, и искомое отображение имеет вид.

Здесь также отображение определено не однозначно. На рис. 23 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости w. Прообразами диаметров (рис. 23, б) служат дуги окружностей, перпендикулярных окружности z = 1 (рис. 23, а); прообразами окружностей.

w = г, г < 1, являются также окружности (но не концентрические) плоскости переменного z.