Канонические схемы рекурсивных фильтров

Недостаток рекурсивных фильтров, реализуемых по алгоритму (6.34), — большое число ячеек памяти, применяемых для рекурсивной и нерекурсивной частей. Уменьшить число ячеек позволяют канонические (оптимальные) схемы рекурсивных фильтров, в которых каждый элемент задержки используется для цепей как нерекурсивной, так и рекурсивной связей. В канонических схемах количество элементов задержки всегда равно наибольшему из чисел т и п.

Цифровой рекурсивный фильтр, соответствующий алгоритму обработки дискретного сигнала типа (6.35), может быть реализован в виде другой, эквивалентной схемы. Запишем уравнение (6.35) следующим образом:

Представим формулу (6.43) в виде.

где Алгоритм (6.44) определяет структуру построения нерекурсивного фильтра m-го порядка. Преобразование, соответствующее функции V (z) и заданное выражением (6.45), осуществляется с помощью рекурсивного фильтра «-го порядка.

Общая схема рекурсивного фильтра включает в себя две части — нерекурсивную с коэффициентами а_т и рекурсивную с коэффициентами Ь_п (рис. 6.23).

Нетрудно заметить, что в обе части линий задержки подается один сигнал, поэтому они будут содержать одинаковые наборы отсчетов. Это позволяет объединить дублирующие линии задержки схемы на рис. 6.23.

Рис. 6.23. Нерекурсивная и рекурсивная части цифровою фильтра.

Полученную схему фильтра (рис. 6.24) называют канонической формой рекурсивного цифрового фильтра.

С теоретической точки зрения рекурсивная и каноническая схемы построения цифрового фильтра эквивалентны. Однако при практической реализации цифровых фильтров необходимо обратить внимание на некоторые специфические особенности, присущие этим схемам. В частности, при реализации канонической структуры используют общую линию задержки для нерекурсивной и рекурсивной частей фильтра, что уменьшает число необходимых ячеек памяти. Но в этом случае абсолютные значения отсчетов, попадающих в линии задержки, могут существенно превосходить амплитуды отсчетов входного и выходного сигналов. Это приводит к необходимости увеличения разрядности представления чисел в линиях задержки по сравнению с разрядностью входного и выходного сигналов, что усложняет техническую реализацию фильтра. При прямой реализации рекурсивных.

Рис. 6.24. Каноническая форма рекурсивного цифрового фильтра фильтров в линиях задержки хранят отсчеты входного и выходного сигналов, т. е. разрядность линий задержки остается неизменной. Элементом, требующим повышения разрядности, является сумматор, и это необходимо учитывать в архитектуре сигнальных микропроцессоров, специально предназначенных для обработки сигналов в режиме реального времени.

Рассмотрим структурную схему канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка (рис. 6.25), описываемого системной функцией.

Рис. 6.25. Структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка.

Для того чтобы убедиться в возможности реализации системной функции вида (6.46) заданной схемой канонического рекурсивного фильтра, введем вспомогательный дискретный сигнал на выходе первого сумматора и составим относительно него два следующих уравнения:

Выполним два 2-преобразования по этим уравнениям относительно дискретных сигналов {и_к} и {у_к}

Воспользовавшись формулой (6.31) и поделив уравнение (6.48) на выражение (6.47), находим, что полученная системная функция совпадает с заданной формулой (6.46).