Лемма Калмана-Якубовича. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

В гл. 12 при рассмотрении адаптивных систем управления используются строго вещественно-положительные передаточные функции и лемма Калмана-Якубовича. Поэтому в данном параграфе вкратце остановимся на этих вопросах.

Передаточная функция W(5) линейной стационарной системы управления называется строго вещественно-положительной, если все ее полюса располагаются в левой полуплоскости (система устойчива) и вещественная часть частотной передаточной функции W (jtj) при всех и ^ 0 положительна:

Отметим ряд очевидных необходимых условий того, что передаточная функция W (s)является строго вещественно-положительной:

• — годограф частотной передаточной функции W (ju) (амплитудно-фазовая частотная характеристика) должен располагаться полностью в правой полуплоскости;
• — относительный порядок г передаточной функции W (s) не должен превышать 1 (г = 0 или г = 1);
• — не только полюса, но и нули передаточной функции W (s) должны располагаться в левой полуплоскости.

передаточная функция W (s) = c^T(Is — А)~¹В была строго вещественно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительно определенные матрицы Р и Q такие, что выполняются соотношения

Лемму Калмана-Якубовича иначе можно еще сформулировать следующим образом.

Пусть стационарная линейная система (1.31) вполне управляема и устойчива (собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части).

Тогда для того чтобы существовали положительно определенные матрицы Р и Q такие, что выполняются соотношения (1.32), необходимо и достаточно, чтобы

Лемма Калмана-Якубовича. Для того чтобы у вполне управляемой стационарной линейной системы управления