Решение второй задачи механики при прямолинейном движении точки

Пусть на точку массой т действуют заданные силы. Нужно найти закон движения точки, т. е. определить координаты точки как функции времени.

Решение: Вторая задача динамики, как и первая, решается с помощью дифференциального уравнения движения точки.

Иногда его удобно заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

Решение состоит в том, чтобы из уравнений движения, зная силы, найти закон движения точки, т. е. х = f (t).

Входящие в правую часть уравнения (1.56) силы могут зависеть от времени 1, положения точки х и от ее скорости, т. е. V_x = х. Следовательно, в общем случае уравнение (1.56) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее вид:

Как известно из математики, общее решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид.

Таким образом, мы получим бесконечно много решений, т. е. законов движения точки, зависящих от двух параметров при движении по прямой.

Чтобы довести решение до конца, надо определить значение постоянных интегрирования С) и С₂. Их находят с помощью так называемых начальных условий. Начальные условия задают в виде: при / = 0 х = х₀, х = х₀.

Приложенные к точке силы и начальные условия полностью определяют движение точки.

Рекомендуется проводить решение задач динамики точки в следующем порядке:

• • Выбрать систему отсчета. При решении большинства задач о движении точки начало координат удобно выбирать в начальном положении, т. е. в том положении, где точка находится в момент времени t = t₀= 0. Направление оси удобно брать совпадающим с направлением начальной скорости.
• • Изобразить на чертеже движущуюся точку в произвольный момент времени.
• • Изобразить на чертеже силы, действующие на точку (активные и реактивные), в виде векторов, приложенных к точке.
• • Составить дифференциальные уравнения движения точки.
• • Записать начальные условия движения точки и определить из начальных условий постоянные интегрирования.
• • Если решение проведено в общем буквенном виде, то произвести проверку ответа на размерность.
• • Найти требуемые величины и произвести исследование решения.