Статистическое моделирование как простейший вид имитационного моделирования

Появление имитационного моделирования и превращение имитационных моделей в эффективное средство анализа сложных систем и процессов было обусловлено потребностями практики, быстрым развитием техники и особенно многопроцессорных вычислительных систем, а также развитием статистического моделирования (метода статистических испытаний) — численного метода прикладной и вычислительной математики, состоящего в реализации специально разрабатываемых стохастических моделей. Можно условно выделить два класса задач, которые решаются методом статистического моделирования. К первому относятся задачи стохастической природы, при этом используется прямое моделирование естественной вероятностной модели. Задачи второго класса — детерминированные задачи, для решения которых искусственно строят вероятностный процесс и получают формальное решение задачи в виде статистических оценок характеристик процесса.

Процедура применения статистического моделирования для решения детерминированных задач состоит в следующем. Для вычисления некоторой детерминированной величины U рассматривается вспомогательная случайная величина математическое ожидание которой равно искомой величине: Et, = U.

Проводится N независимых испытаний, в результате которых генерируется последовательность случайных величин имеющих одинаковое распределение, и вычисляется выборочное математическое ожидание:

Принципиальную основу для вычисления математического ожидания случайной величины на основе ее независимых реализаций составляет теорема, известная как усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова.

Теорема 2.3. Для того чтобы среднее арифметическое независимых реализаций случайной величины? сходилось с вероятностью 1 к ее математическому ожиданию ?%, необходимо и достаточно, чтобы это математическое ожидание существовало.

Из теоремы Колмогорова следует, что при больших N можно приближенно считать.

Допускаемую при этом погрешность в виде доверительного интервала, содержащего решение с заданной вероятностью, можно оценить с помощью центральной предельной теоремы (если предположить дополнительно, что случайная величина? имеет конечную дисперсию D согласно которой.

U-tf-лм последовательность случайных величин {. асимптотически нор;

UWn].

мальна, т. е. при N —" °=.

В практических задачах выражение (2.20) чаще всего используют для оценки верхней границы погрешности и порядка погрешности. Для оценки верхней границы погрешности используют величину.

называемую верхней границей ошибки, которая позволяет указать интервал, содержащий искомую величину U с вероятностью 0,997.

Для оценки порядка погрешности используют величину.

называемую вероятной ошибкой, которая позволяет указать интервал, содержащий искомую величину U с вероятностью 0,5.

Типичный вид зависимости приближенного решения, полученного методом статистического моделирования, и оценок погрешности R_N, r_N от объема выборки показан на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Типичная зависимость приближенного решения и оценок погрешности от объема выборки.

Замечание 2.1. Для вычисления Ос, удобно пользоваться формулой, известной как эмпирическая оценка дисперсии:

Существуют оценки погрешности и для случая D?, =°°. Однако порядок убывания погрешности в этом случае значительно хуже, поэтому не рекомендуется в практических расчетах использовать случайные величины, дисперсия которых бесконечна.

Основным моментом при построении алгоритмов статистического моделирования является указание способа моделирования случайных величин, используемых в этом методе, т. е. указание способа, как строить независимые реализации q₂, •••> ?, v случайной величины ф Следует иметь в виду, что при этом могут быть указаны многие способы построения, что приводит к различным вычислительным алгоритмам.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих применение метода.