Выпуклая функция затрат

Оптимальность политики одного критического уровня Будем предполагать, что ф" — линейные функции вида (плата за заказ К = 0).

а ф/, и (р_Рп — кусочно-линейные выпуклые функции вида соответственно.

Здесь h_n — стоимость хранения единицы продукта в течение тг-го этана, р_п — штраф за задержку удовлетворения спроса на единицу продукта в течение тг-го этапа.

Оказывается, что при вышеуказанных предположениях относительно вида функций издержек оптимальное управление обладает особыми свойствами, которые могут быть выявлены при исследовании функций В_п(х). Это исследование проводится методом математической индукции и показывает, что все функции В_п(х) являются выпуклыми, а оптимальное управление на тг-м этапе имеет вид

где s_n определяется равенством.

При этом если обозначить первое слагаемое суммы через L_n(y_n), то нетрудно показать, что.

Смысл полученного свойства оптимального управления состоит в том, что на каждом этапе мы ничего не предпринимаем, если запас превышает некоторый фиксированный уровень, а если запас снижается ниже этого уровня, то мы посылаем заказ, доводящий запас до этого уровня. Таким образом, мы имеем дело с политикой поддержания запаса на определенном для каждого этапа уровне, причем уровни фиксированы и определяются из соотношения (6.5) параметрами модели и вероятностными характеристиками спроса через функции G'_n(y_n). Для определения этих уровней в общем случае надо решать рекуррентные соотношения динамического программирования, что является достаточно сложным, или воспользоваться имитационным методом. Для стационарной же системы, функционирующей бесконечно долго, можно найти такой уровень в явном виде¹.

Обратите внимание на то, что оптимальные объемы поставок заранее не могут быть определены — они случайны и становятся детерминированными только после получения информации о текущем состоянии запаса.

Предположим, что рассматривается стационарная система, т. е.

и функционирование происходит бесконечно долго, т. е. число этапов N неограниченно возрастает. Это, естественно, не означает, что неограниченно возрастает время планирования. Напротив, мы по-прежнему будем интересоваться построением законов управления при п = 1, …, N, где N — конечно, например ближайший квартал, но предполагаем, что в будущем, при п > N, сохраняются те же стационарные условия. При отсутствии более четкого прогноза изменения спроса это вполне реалистичная гипотеза, повидимому, даже более реалистичная, чем фактически принимаемое (в конечно-шаговом случае) предположение о «занулении спроса» при п > N и бесполезности товарных остатков.

В силу такой трактовки представляет интерес выяснение законов управления при малых п. Поскольку при этом влияние граничного условия исчезает, можно считать В_п(х) = В (х), так что рекуррентное соотношение превращается в функциональное уравнение, и исследование его дает следующие результаты:

• 1) оптимальной является политика одного критического уровня, т. е. на каждом этапе где s — одно и то же для любого этапа;
• 2) критический уровень s является корнем уравнения

При этом в естественном предположении, что w® > 0, т. е. спрос может принимать любое значение, W (y) — строго возрастающая функция, и этот корень единственный.

Таким образом, па всех этапах может использоваться один и тот же критический уровень, и зависимость объема поставок от уровня запаса является неизменной. Такая политика называется стациоиарно-оптимаяьной. Смысл ее очень прост. Система управления организует поставки так, чтобы после их получения достигался постоянный уровень запаса s, обеспечивающий экономически целесообразную вероятность 1 — (3 удовлетворения спроса, предъявляемого на текущем этапе. Пусть спрос состоит из постоянной заданной величины г₀ и случайной неотрицательной компоненты 5г_п =г_п -г₀. Тогда величину s — г₀ принято называть страховым запасом, обеспечивающим удовлетворение случайной компоненты спроса с требуемой вероятностью.