Байесовское решение. 
Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов

При байесовском подходе дополнительно предполагают, что параметр 0 — СВ с некоторым распределением П (0) (вероятность в дискретном случае или плотность вероятности в непрерывном случае).

В данном случае будем использовать одно и то же обозначение 0 как для СВ, так и для принимаемого ею значения.

Распределение П (0) называется априорным распределением параметра 0 и считается известным. В этом случае можно подсчитать полную среднюю потерю от применения решающего правила g. Эту потерю называют байесовским риском и обозначают r (g):

Таким образом, каждое решающее правило характеризуется одним числом и, следовательно, все решающие правила можно упорядочить в соответствии со значениями r (g).

Оптимальным является правило#*, имеющее минимальный байесовский риск, т. е. r (g*) = min (r (#)). Решение#* называется байесовским решением.

я Байесовское решение находят, используя теорему Байеса, согласно которой апостериорное распределение параметра 0 задается в виде.

где

Тогда равенство (14.3) можно записать в виде.

где условное математическое ожидание вычисляется относительно апостериорного распределения (14.4), т. е.:

Таким образом, для заданного априорного распределения параметра 0 П (0) алгоритм нахождения байесовского решения имеет следующий вид.

• 1. Для X — х по формуле (14.4) находят апостериорное распределение Г1(0/х).
• 2. Для каждого возможного решающего правила вычисляют среднюю потерю относительно этого апостериорного распределения по формуле (14.5), используя соотношение (14.6).
• 3. В качестве решения g* выбирают решение с минимальной средней потерей.

Байесовское решение g', найденное для любого распределения П (0) > О, является допустимым.