Примеры кинематического анализа механизмов

Пример: рассмотрение компрессора. Построить планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма компрессора (рис. 9.1). Найти скорость и ускорение точки С, угловую скорость и угловое ускорение шатуна ВС, а также определить длину радиуса кривизны р_п траектории точки D. Дано: ф, = 45°, 1_ЛВ = 0,05 м, 1_ВС = 0,20 м, 1_вп = 0,10 м, угловая скорость кривошипа Л В постоянна и равна со, = 80 с" ¹.

Рис. 9.1. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма компрессора:

а — схема; 6 — план положения; в — план скоростей; г — план ускорений.

Решение. Во-первых, проводим структурный анализ. Число звеньев k = 4, число подвижных звеньев п = 3, число кинематических пар V класса р₅ = 4, степень подвижности механизма равна W = Зп — 2p_s = 3−3 — 2−4 = 1. Механизм образован присоединением к ведущему звену ЛВ и стойке 4 группы второго класса второго вида (модификации), состоящей из звеньев 2 и 3.

Далее строим план положения механизма (см. рис. 9.1, а). Задаемся длиной отрезка Л В = 25 мм, вычисляем масштаб схемы механизма р, = 1_лв/ЛВ = = 0,05/25 = 0,002 (м/мм), и по нему находим длины отрезков ВС и BD:

ВС = 1_лв/х = 0,2/0,002 = 100 (мм); BD = l_BD/x = 0,1/0,002 = 50 (мм).

По полученным размерам и заданному углу <�р, на рис 9.1, б строим план положения механизма.

Строим план скоростей для структурной группы 2 — 3. Построение ведем по следующим двум векторным уравнениям:

где V_B — скорость точки В, по модулю равная V_B = со,/_лв = 80−0,05 = 4 мс'¹ и направленная перпендикулярно линии АВ в сторону звена АВ; V_CB — скорость точки С при вращении звена ВС вокруг шарнира В, по модулю равная V_св = со₂1_вс (со₂ — угловая скорость звена ВС, которая пока нам неизвестна) и направленная перпендикулярно линии ВС; V_c — скорость точки С₄ стойки 4, совпадающей с точкой С (она равна нулю, так как звено 4 неподвижно); V_CCi — относительная скорость точки С в ее движении относительно точки С₄ (ее модуль неизвестен, направлена она вдоль линии Лг).

План скоростей ведем в такой последовательности (см. рис. 9.1, в). Вначале от полюса р откладываем отрезок pb (изображающий скорость точки В) перпендикулярно линии АВ и в соответствии с направлением вращения звена АВ, затем из точки В проводим направление скорости V_CB — линию, перпендикулярную ВС. Переходим к построению решения второго векторного уравнения для точки С.

Из точки р надо было бы отложить скорость V_c , но она равна нулю, поэтому точку С, совмещаем с точкой р; из точки С₄ или, что-то же, р проводим направление скорости V_c — линию, параллельную Лг, до пересечения с линией, точки С. Помещаем в полюс плана точку а и на этом заканчиваем построение плана скоростей для всего механизма.

Скорость точки D находим по правилу подобия: конец вектора этой скорости должен лежать на линии Ьс и делить отрезок Ьс в том же отношении, в каком точка D делит отрезок ВС, т. е.

Масштаб (масштабный коэффициент) плана скоростей масштаб плана аналогов скоростей.

Скорость точки С

Угловая скорость ш, звена ВС равна.

На рис. 9.1, б построен повернутый план скоростей непосредственно на схеме механизма. В этом плане полюс р совмещен с точкой А. Направление вектора скорости точки В совпадает с направлением АВ, направление скорости V_CB является продолжением линии ВС, а направление скорости точки С перпендикулярно линии Аг.

Затем строим план ускорений для структурной группы 2 — 3. Этот план строится по двум векторным уравнениям:

где а_в — ускорение точки В, но модулю равное (поскольку со = const, а_в = 0).

и направленное параллельно линии АВ от точки В к точке А; а^п_св — нормальное ускорение точки С во вращательном движении звена ВС относительно точки В, по модулю равное.

и направленное параллельно линии ВС от точки С к точке В; а^х_св — касательное ускорение точки С, равное а^х_св = е₂ • 1_ВС (е₂ — угловое ускорение звена ВС, пока нам неизвестное) и направленное перпендикулярно линии ВС, a_Ci — ускорение точки С₄ (оно равно нулю, так как звено 4 неподвижно); 3?_с< — кориолисово ускорение точки С в движении ее относительно точки С₄, равное нулю (потому что звено 4 неподвижно); a^r_CCi — относительное (релятивное) ускорение точки С в ее движении относительно точки С₄, оно параллельно линии Ах.

Построение плана ускорений ведем в такой же последовательности (см. рис. 9.1, г), как и план скоростей. В соответствии с первым векторным уравнением, показанного выше, от полюса плана т откладываем отрезок mb, принятый равным АВ = 25 мм, т. е. строим план в масштабе кривошипа, при этом масштабы планов ускорений и их аналогов соответственно будут равны (в общем случае масштаб можно принимать произвольно).

Соответствующий масштаб ускорений.

От точки b откладываем отрезок Ьп_св, изображающий ускорение а_св, длина которого.

Через точку п_св проводим направление ускорения а_св — линию, перпендикулярную линии ВС.

Переходим к построению решения второго векторного уравнения, указанного выше. Для этого из полюса плана т откладываем вектор ускорения а_с<, но оно равно нулю, поэтому точка С₄ совпадает с точкой т. С этой же точкой совпадает конец вектора ускорения a_CCi — точка k (ускорение а_ССл равно нулю). Из точки к или, что-то же, из точки т, проводим направление ускорения a_CCi — линию, параллельную Ах. Точка пересечения ее с линией, проведенной перпендикулярно ВС, дает точку с — конец вектора ускорения точки С. Соединяем точки с и b и получаем вектор полного ускорения точки С при вращении звена ВС относительно точки В, т. е. а_св. В точку т помещаем точку а. На этом заканчиваем построение плана ускорений механизма.

Конец вектора ускорения точки D найдем по правилу подобия

Соединив точку d с полюсом плана т, получаем отрезок (md), изображающий ускорение точки D. Величина ускорения точки С

а величина углового ускорения звена ВС

Находим радиус кривизны траектории точки D. Через точку О (рис. 9.1, б) проводим линию тт, параллельную отрезку pd на плане скоростей (рис. 9.1, в), — это будет направление касательной к траектории точки D. Линия (гщ), проведенная перпендикулярно линии (тт), является нормалью к этой же траектории. На ней располагается центр кривизны 0_о траектории точки D. Проектируем вектор ускорения точки Д отрезок md (рис. 9.1, г), па направление нормали к траектории точки D. Получим отрезок mn_D, соответствующий нормальному ускорению а₀ точки D.

Из формулы получим, что искомый радиус кривизны будет равен.

Пример: строгальный станок. Построить планы скоростей и ускорений механизма строгального станка (рис. 9.2). Найти скорость и ускорение звена 5. Дано: ф, = 300°, 1_ЛВ = 0,05 м, 1_ЛС = 0,12 м, l_CD = 0,200 м, Н = 0,10 м, l_DE = = 0,08 м. Угловая скорость кривошипа постоянна и равна coj = 10 с '.

Рис. 9.2. Кинематический анализ механизма строгального станка:

а — схема; б — план положения; в — план скоростей; г — план ускорений.

Решение. Проводим структурный анализ и устанавливаем класс механизма. Число звеньев к =6, число подвижных звеньев п = 5, число кинематических нар V класса р₅ = 7, степень подвижности механизма равна W = = 3п- 2р₅ = 3 • 5 — 2 • 7 = 1. В этом механизме имеется звено 2, называемое кулисой — это ползун, перемещаемый по подвижной направляющей (звену 3).

Строим план положения механизма. Длину отрезка АВ выбираем равной 25 мм, поэтому масштабный коэффициент схемы будет равен.

Длины отрезков на чертеже:

По полученным размерам строим план положения механизма (см. рис. 9.2, б).

Строим план скоростей механизма. Начинаем с группы, состоящей из звеньев 2 и 3, так как она непосредственно присоединена к ведущему звену и стойке. Построение ведем по следующим векторным уравнениям:

где V_B — скорость точки В₃ звена 3, которая лежит под точкой В; V_B — скорость точки В, по модулю равная V_B = со_{-1_ЛВ = 10• 0,05 = 0,5 (мс^-1) и направленная перпендикулярно АВ в соответствии с направлением угловой скорости со,; V_B* — скорость точки В₃ относительно точки В, направленная параллельно линии BCV_c — скорость точки С, по модулю равная V_BB = со₃ • l_IhC и направленная перпендикулярно ВС (пока нам неизвестна).

Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше. От полюса р плана (рис. 9.2, в) откладываем отрезок pb, изображающий скорость V_B точки В. Длину этого отрезка принимаем равной pb = АВ = 25 мм, т. е. план строим в масштабе кривошипа. Через точку b проводим направление скорости V_BB — линию, параллельную СВ₃. Переходим к построению решения второго векторного уравнения, указанного выше. Надо отложить вектор скорости точки С, но так как модуль его равен нулю, то точка С совпадает с полюсом плана. Далее из точки р проводим направление V_BC — линию, перпендикулярную СВ. Пересечение ее с ранее проведенной линией, параллельной СВ, дает конец вектора скорости V,_h — точку Ь₃. Точку d — конец вектора скорости точки D — находим по правилу подобия из соотношения , откуда.

Переходим к построению плана скоростей структурной группы 4 — 5. Этот план строим по уравнениям.

где V_E — скорость точки В; V_D — скорость точки D (ее вектор отложен на плане скоростей в виде отрезка pd; V_ED — скорость точки Е во вращении звена 4.

относительно точки Д по модулю равная V_ED = ау/_Л? и направленная перпендикулярно линии DE (пока нам не известна); V_Ee — скорость точки Е₆ звена 6, которая совмещена с точкой Е (модуль ее равен нулю, так звено 6 неподвижно); V_EE — скорость точки Е₆, направленная параллельно линии хх. Построение сводится к проведению через точку d (согласно первому уравнению) линии, перпендикулярной DE, т.с. направлению скорости V_EO, и проведению через точку р (согласно второго уравнения) линии, параллельной хх. Точка е пересечения этих линий есть конец вектора скорости V_E точки Е. Помещаем в плюс точки с, е_в, а и на этом заканчиваем построение плана скоростей механизма.

Масштаб плана скоростей равен.

Масштабный коэффициент плана механизма р, = 0,002 м/мм.

Искомая скорость суппорта (скорость точки Е) равна V_E = рер, = 45 • 0,020 = = 0,90 (м/с).

Строим план ускорений структурной группы, состоящей из звеньев 2 и 3. Построение ведем по следующим двум векторным уравнениям:

где а_й. — ускорение точки В₃, которая принадлежит звену 3 и совместилась с точкой В звена 1; а_в — нормальное (оно же полное) ускорение точки В, по модулю равное a_R = cof -/_Лй = 10² — 0,05 = 5 (мс ²) и направленное параллельно ЛВ от точки В к точке A; a_Bfi — ускорение Кориолиса в движении точки В₃ относительно звена 2, по модулю равное.

так как со₂ = оо₃ и и имеющее направление вектора относительной скорости У_В)В, повернутого на 90° в направлении угловой скорости со₂ переносного движения (движения звена 2); й_ВчВ — относительное (релятивное) ускорение точки В₃ относительно точки В, направленное параллельно линии СВ; а_с — ускорение точки с (оно равно нулю); а_{в с} — нормальное ускорение точки B_:t во вращении звена 3 относительно точки С, по модулю равное.

и направленное параллельно линии СВ_Л от точки В₃ к точке С; a)_hC — касательное ускорение точки В₃ в том же движении звена 3, по модулю равное a_BjC = е₃/_В)С (нам пока не известно) и направленное перпендикулярно СВ₃.

Решаем первое векторное уравнение, указанное выше. Задаемся отрезком mb = АВ = 25 мм, который изображает в плане ускорение а_в.

Масштаб плана ускорений равен

Масштаб аналогов ускорений равен.

Отрезок mb откладываем от полюса плана т, далее к нему прибавляем отрезок bk — вектор ускорения Кориолиса, его длину находим по формуле.

Отрезки Ь₃с =17 мм и bb₃ = 19,5 мм взяты из плана скоростей, а отрезок В₃С = 40 мм — из плана положения. Через точку k проводим направление ускорения a^r_BiB — линию, параллельную СВ.

Переходим к построению второго векторного уравнения для точки В₃. Точку С совмещаем с точкой т (так как а_с = 0). От точки т откладываем отрезок тп_Вл0 изображающий нормальное ускорение а_в^_с, его длина равна.

Далее через точку n_lhC проводим направление а_вс — линию, перпендикулярную СВ, до пересечения с ранее проведенной через точку k линией, параллельной СВ. Точка пересечения Ь₃ представляет собой конец вектора ускорения а_Вл. Конец вектора ускорения центра шарнира D (точку d) найдем по правилу подобия из соотношения.

Переходим к построению плана ускорений группы 4, 5 по уравнениям:

где а_Е — ускорение точки Е a_D — ускорение точки D, которое определяется ранее по построенному отрезку

 — нормальное ускорение точки Е во время вращения звена 4 относительно точки D (оно направлено параллельно линии ED от точки Е к точке D); a_ED = z_Al_ED — касательное ускорение той же точки в том же движении звена 4 (оно направлено перпендикулярно линии ED); а_Е — ускорение точки Е₆, которая принадлежит звену 6 и совмещена с точкой Е (оно равно нулю); а_{ЕЕ (}' — ускорение Кориолиса точки Е в движении ее относительно стойки (точки Е₆; оно равно нулю); а_ЕЕ — относительное (релятивное) ускорение точки Е относительно стойки (точки E_G; оно направлено параллельно линии осх).

В соответствии с первым векторным уравнением от точки d откладываем отрезок (dn_ED), параллельный ED (см. рис. 9.2), изображающий нормальное ускорение a_ED. Его длина равна

Далее через точку п_ю проводим направление ускорения a_D (линию, перпендикулярную ED) и переходим к построениям, соответствующим второму векторному уравнению, указанному выше.

В точке т помещаем точки е₍- и k', так как модули ускорений а_{Е (}. и а_ЕЕ. равны нулю. Из точки т проводим направление ускорения а_ЕЕ (линию, параллельную хх) до пересечения с линией, ранее проведенной из точки п_ЕП. Точка пересечения е является концом вектора ускорения Е, т. е. ускорения а_Е. Располагаем в полюсе плана точку а и па этом заканчиваем построение плана ускорения механизма.

Ускорение точки рабочего звена Е