Напряженное и деформированное состояние при прямом чистом изгибе

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент (поперечная сила равна нулю), при этом плоскость действия момента совпадает с одной из главных осей поперечного сечения. Величина изгибающего момента во всех поперечных сечениях одинакова; ось бруса после деформации принимает форму дуги окружности (рис. 16.8).

Рис. 16.8. Чистый изгиб бруса

Вывод основных зависимостей основывается на гипотезе плоских сечений, согласно которой плоские поперечные сечения остаются после приложения нагрузки плоскими и перпендикулярными к деформированной оси. Опыт показывает, что если на боковую поверхность бруса нанести сетку поперечных и продольных линий (см. рис. 16.8, а), то после деформации она принимает вид, показанный на рис. 16.8, б.

Верхние продольные волокна удлиняются; нижние — укорачиваются; посередине имеется слой, который не испытывает ни удлинения, ни укорочения. Этот слой называют нейтральным. Прямые углы между продольными и поперечными линиями остаются прямыми (угловая деформация равна нулю), следовательно, касательные напряжения в поперечных сечениях не возникают.

Рассмотрим бесконечно малый элемент бруса, выделенный двумя поперечными сечениями, расположенными на расстоянии dz друг от друга. На рис. 16.8, в этот элемент показан в деформированном виде. Волокно тп, принадлежащее нейтральному слою, не изменяет своей длины и лишь искривляется.

Радиус кривизны нейтрального слоя после деформации обозначим через р. Волокно ab, расположенное на расстоянии у от нейтрального слоя, получает удлинение A ab, равное (см. рис. 16.8).

Разделив приращение длины АаЬ на первоначальную длину аЪ = рг7ср, получим выражение относительной деформации.

Используя зависимость закона Гука при одноосном напряженном состоянии, перейдем от деформации к напряжению.

Распределение напряжений, но высоте сечения согласно (16.14) подчиняется линейному закону (см. рис. 16.8, в).

Установим зависимость между напряжением и изгибающим моментом М. Для этого составим уравнения равновесия части бруса, изображенной на рис. 16.9, здесь ось х совмещена с нейтральной линией, т. е. линией пересечения плоскости поперечного сечения с нейтральным слоем.

Подставив в эти уравнения выражение для напряжения (16.14) и вынеся за знаки интегралов постоянные величины, получим.

Рис. 16.9. Равновесие элемента бруса.

Из уравнений (16.15), (16.16) видно, что 5_Г = О, J = 0. Следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения, а оси х и у являются главными центральными осями поперечного сечения. Из уравнения (16.17) следует.

так как М = М_х.

Уравнение (16.18) устанавливает зависимость между кривизной оси бруса и изгибающим моментом. Внесем выражение кривизны (16.18) в формулу (16.14), в результате получим.

Максимальное напряжение возникает в точках, наиболее удаленных от центра тяжести, т. е. при максимальном по модулю значении у = у_тж

Выведем величину, называемую моментом сопротивления изгибу тогда формула (16.20) примет вид.

Это максимальное напряжение не должно превысить допускаемое напряжение [ст], т. е.

Уравнение (16.23) представляет собой расчетное уравнение на прочность при изгибе. Оно справедливо, если материал детали пластичный с одинаковым допускаемым напряжением на растяжение и сжатие.

У хрупких материалов допускаемое напряжение на растяжение обычно значительно меньше, чем на сжатие. В этом случае необходимо, чтобы удовлетворялись условия прочности отдельно для растянутых и сжатых волокон. Геометрические характеристики для наиболее простых, часто встречающихся поперечных сечений приведены в табл. 16.1.

Рассмотрим примеры вычисления напряжений при изгибе.

Пример: определить максимальное напряжение а_тах, которое возникает при испытании на прочность плоского образца полупроводникового материала (рис. 16.10). Нагружение образца проводят по двум вариантам. В первом варианте (рис. 16.10, а) сила Р приложена в центре образца, во втором.

Рис. 16.10. Виды нагружения плоского образца полупроводникового материала.

варианте (рис. 16.10, б) две силы Р/2 приложены на расстоянии //3 от опор каждая. Вычислить значение а_тах при Р = ЗН, 1 = 5 мм, h = 0,28 мм, Ь = 3 мм.

Решение. Определяем величину максимального изгибающего момента. Строим эпюры изгибающих моментов для двух вариантов нагружения.

Для первого варианта (см. рис. 16.10, а) опорные реакции Y_A + Y_B = Р/2. Уравнения моментов для участков.

Для второго варианта (рис. 16.10, б) опорные реакции Y_A + Y_B = Р/2. Уравнения моментов для участков.

Из решения видно, что при одной и той же силе в образцах возникают различные максимальные напряжения. Вторая схема нагрузки при испытаниях является более предпочтительной, так как в центральной части образца действуют одинаковые изгибающие моменты (Л/_г2), что позволяет получать более стабильные значения разрушающих напряжений.

Пример: определить максимальные напряжения в элементах манипулятора (рис. 16.11), состоящего из «руки» I, жестко соединенной со стойкой II, и основания III. В точке А действует сосредоточенная сила веса Р = 50 Н транспортируемой детали. Вес «руки» равномерно распределен по всей длине с интенсивностью q = 6−10 ² Н/см. «Рука» I изготовлена из Т-образного стандартного профиля, имеющего момент сопротивления изгибу W = = 1,163 см³. Стойка 2 изготовлена из трубы внешним диаметром 40 мм и внутренним 30 мм. Линейные размеры: а = 300 мм, b = 100 мм, с = 300 мм.

Силы реакций Z_I} и Z_c находим из условий равновесия ^М_в = 0 и ^М_с = 0

Рис. 16.11. Схема действия нагрузок на манипулятор.

Изгибающий момент для участка I 0 < у < с

Изгибающий момент для участка II

Изгибающий момент для участка III.

Максимальное напряжение для участков I и II.

Максимальное напряжение для участка III.

При поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникает изгибающий момент М_х. и поперечная сила Q_(/. Изгибающий момент вызывает нормальные напряжения, а поперечная сила — касательные напряжения. Касательные напряжения при расчете сплошных стержней не учитываются.

Допускаемые напряжения при изгибе определяют либо по результатам испытаний материалов на растяжение — сжатие, либо по результатам испытаний материалов на изгиб. В последнем случае допускаемое напряжение обозначают [а]_м и вычисляют по формуле.

где ст,(— предельное напряжение, полученное по результатам испытаний на изгиб; п — коэффициент запаса.