Основные сведения из линейной алгебры, относящиеся к задаче на собственное значение

Общие сведения из линейной алгебры представлены в параграфе 3.1. Здесь мы рассмотрим некоторые специфические определения, касающиеся задачи на собственное значение. В общем случае эта задача формулируется в виде.

где, А и М — квадратные матрицы размером N на N и пара (А,", z_n) есть собственное значение и соответствующий собственный вектор. В частности, такая проблема возникает при анализе вибрации конструкций. Мы ограничимся рассмотрением более простой проблемы (стандартная задача на собственное значение):

Матрица, А имеет N собственных значений (набор всех значений называется спектром матрицы А), и они определяются как корни характеристического полинома det (A — ТА). Собственные вектора z_n (п = 1,N) образуют систему ортонормированных векторов:

В общем случае матрица, А имеет комплексные собственные значения. Только матрицы, обладающие специальными свойствами, имеют только вещественные собственные значения. Такие матрицы называются Эрмитовыми. Пусть символ «Н» обозначает последовательное применение двух операций: комплексного сопряжения и транспонирования, тогда матрица, А является Эрмитовой, если, А = А¹¹. Вещественная симметричная матрица — частный случай Эрмитовой матрицы.

В дальнейшем, для определенности, мы будем нумеровать собственные значения следующим образом:

Это значит, что Х — минимальное по модулю собственное значение, а Х^ — максимальное по модулю собственное значение.

Отношение Рэлея для симметричной матрицы, А определяется как.

для любого вектора х ^ о. Оно имеет очень полезные свойства, а именно:

• 1) Х < р (х) < Xjy для всех ненулевых векторов х е R^lV;
• 2) если х = z_rn тогда р (х) = Х_п
• 3) па основе предыдущего свойства вектор невязки для задачи на собственное значение может быть определен как

и неравенство ||г (х)|| < ||Ах — ах|| справедливо для любого числа а. Следовательно, если вектор х есть некоторое приближение к z_n, то р (х) есть наилучшее приближение к Х_п.