Решение систем нелинейных уравнений

Список обозначений.

Тема, обсуждаемая в этой главе, часто представляет довольно трудную проблему. Решение системы из N нелинейных уравнений часто требует больших усилий, чем просто решение N одномерных уравнений. Например, как мы видели в главе 2, первая производная функции играет важную роль в создании итерационных алгоритмов. В случае N уравнений она заменяется матрицей из N² первых частных производных. Некоторые методы, применяемые для решения уравнения f{pc) = 0, могут быть обобщены на случай систем нелинейных уравнений, однако простые методы, типа метода деления отрезка пополам, не имеют аналогов в многомерном случае. Поэтому, прежде чем использовать ту или иную итерационную схему, часто необходим некоторый предварительный анализ, чтобы определить приближенное расположение решения.

Система нелинейных уравнений, в общем виде, записывается как.

или в развернутой форме.

В случае N уравнений мы должны заменить интервалы некоторыми множествами в R‘^v, а именно:

Форма шара зависит векторной нормы. Например, на рис. 5.1 показаны различные формы шаров для N = 2.

Рис. 5.1. S_c((0, 0), а) для некоторых векторных норм:

^а — 1М1ь 6 — ГЬ; в — 1М1°о.