Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений

Во многих областях исследований возникают системы дифференциальных уравнений, имеющие одно очень интересное свойство, называемое «жесткостью». Применение рассмотренных выше методов для численного решения таких систем, с вычислительной точки зрения, будет крайне неэффективным. Рассмотрим, например, следующую задачу Коши:

где.

с начальными условиями.

Решение этой задачи имеет вид.

Графики щ (рс), и₂{х), и щ (х) представлены на рис. 7.7. На интервале 0 < х < 0.1 все три компоненты изменяются очень быстро, и при численном решении этой задачи шаг разностной сетки должен быть очень мал. Для х > 0.1, однако, две компоненты решения (Ц (х) и и₂(х)) практически совпадают и изменяются довольно медленно, а третья компонента, щ (х), близка к нулю. Поэтому на этом интервале можно было бы задать и более крупный шаг разностной сетки.

Матрицей Якоби F (.r, и) для уравнения (7.32) является матрица А, определенная в (7.33), и ее собственные значения Х_т равны -2, -40 ± 40/. Если для решения системы (7.32) использовать какую-нибудь явную схему, то мы столкнемся с довольно сильным ограничением на шаг /г, так как по;

Рис. 7.7. Точное решение задачи (7.32).

следние два собственных значения имеют относительно большое по модулю значение. В то же время эти собственные значения определяют ту часть точного решения (7.34), которая пренебрежимо мала при х > 0.1. В результате мы вынуждены задать очень маленький шаг разностной сетки на всем интервале интегрирования, что потребует большого объема вычислений. Такая ситуация характерна для жестких систем уравнений.

В случае нелинейной системы (7.15) жесткость определяется собственными значениями матрицы Якоби ?(х, и), которые зависят от х.

Система уравнений называется жесткой на некотором интервале I, если.

• 1) Re?c_wz(x) < 0, т = 1,…, N;
• 2) max | Re^_w(x) | min|ReA,_w(x)|, х е /,

т т

где Х_т(х) — собственные значения матрицы F (x, u).

Отношение.

называется коэффициентом жесткости. Система уравнений (7.32) имеет коэффициент жесткости, равный 20, что вполне приемлемо, так как во многих практических задачах коэффициенты жесткости зачастую достигают величины 10⁵.

Применение явных (условно устойчивых) схем для решения жестких систем уравнений вызывает затруднение, так как это приводит к сильным ограничениям на величину шага разностной сетки. Единственный способ преодолеть эго затруднение — применять неявные схемы, которые либо безусловно устойчивы, когда ReХ_т < 0, либо имеют большую область устойчивости. Со схемами первого рода мы уже встречались: это неявные схемы Адамса первого и второго порядка.

Другим популярным методом решения жестких задач являются формулы дифференцирования назад (BDF, Backward Differentiation Formulae). Построение схем Адамса основано на интегрировании полинома, который интерполирует предыдущие значения f (x, и).

Построение схем BDF основано на дифференцировании полинома, который интерполирует предыдущие значения и^^а Полученная таким образом производная в точке х_п приравнивается затем значению f (x_n, и_п).

Схемы BDF порядка/? для системы уравнений можно записать в следующем виде:

где соответствующие коэффициенты представлены в табл. 7.5. Из этой формулы видно, что схемы BDF являются неявными схемами.

Таблица 75

Коэффициенты для схем BDF.

Области устойчивости для схем BDF показаны на рис. 7.8. Схемы первого и второго порядка, безусловно, устойчивы, когда ReX_m < 0, а схемы третьего и четвертого порядка имеют небольшие области неустойчивости для малых значений Re^_;", вблизи мнимой оси.

Все разностные схемы, пригодные для численного решения жестких задач, являются неявными схемами, поэтому на каждом шаге вычислений мы должны решить систему нелинейных уравнений вида

Рис. 7.8. Области устойчивости на комплексной плоскости для схем BDF порядка р = 1, 2, 3, 4.

Область неустойчивости лежит внутри контура где г — некоторый известный вектор. Такая форма уравнений непосредственно подходит для применения метода простой итерации (4.3). Как было рассмотрено в параграфе 5.1, для сходимости метода простой итерации требуется выполнение условия.

Поэтому имеет смысл применять метод простой итерации только для умеренно жестких задач, когда ||F (at, u)|| не велика. Для очень жестких задач ||F (.r, u)|| велика, и, согласно условию (7.35), мы сталкиваемся с сильным ограничением на величину шага разностной сетки. В этом случае предпочтительнее использовать метод Ньютона и его модификации (глава 5), гак как он обеспечивает сходимость итераций при более слабом ограничении на h, чем условие (7.35).