Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы случайных величин и, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу и или в полуполосу и .

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной вероятность попадания точки в квадрант с вершиной, получим.

Аналогично имеем.

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Вероятность попадания точки в прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными осям.

Пусть уравнения сторон таковы:

Найдем вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти вычитая из вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ, равную.

вероятность попадания точки в полуполосу СD, равную.

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

Кроме функции распределения, непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет (за исключением, быть может, конечного числа точек) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения системы случайных величин по известной функции распределения Найдем частную производную по от функции распределения:

От полученного результата найдем производную по и найдем искомую плотность совместного распределения: