Линейные функции. 
Основы математической обработки информации

Основой большого количества математических моделей служат линейные функции, которые позволяют исследовать многие реальные процессы. Было бы неправильно утверждать, что все эти процессы линейны. Просто для эффективного их изучения достаточно линейного приближения. Рассмотрим простейшую задачу.

Затраты на перевозку одного и того же груза разными видами транспорта определяются формулами у_х = 1500 + 3*; у₂ = 3000 + 1,5*, где * — расстояние в километрах; у_х, у2 — стоимость перевозки в рублях. Построим графики этих функций. Ответим на следующие вопросы. На каких расстояниях выгодно пользоваться первым видом транспорта? Начиная с какого расстояния экономичнее становится второй вид транспорта?

Решение

Напомним, что для построения графика линейной функции достаточно двух точек на плоскости. (Из геометрии: через две точки проходит прямая и притом только одна, что означает, что прямая однозначно определяется двумя точками). Поэтому предполагаем, что с первой частью задания вы справитесь самостоятельно. Сделаем лишь два замечания.

• 1. Очевидно, что областью определения линейной функции является все множество действительных чисел. Однако, как уже говорилось выше, на практике известные функции рассматриваются нс на естественной, а на искусственной области определения, которая часто определяется соображениями здравого смысла. В пашем случае такой областью определения является только множество положительных чисел (расстояние не может быть выражено отрицательным числом). Таким образом, график будет располагаться только в первой координатной четверти.
• 2. Для того чтобы максимально эффективно расположить и показать график любой функции, нужно правильно выбрать масштаб. Поскольку свободный коэффициент наших функций значителен, целесообразно в качестве единичного отрезка на оси ординат выбрать две клетки, каждая из которых равна 500 ед. стоимости перевозки. Единичный отрезок, но оси ординат также может быть выбран равный двум клеткам, в каждой из которых содержится 500 км.

Ответить на вопросы задачи с помощью графиков достаточно просто. Напомним, что значения одной из функций меньше на тех промежутках области определения, где график ее расположен ниже. Поэтому использование первого вида транспорта будет выгоднее до тех пор, пока график первой функции будет располагаться ниже графика второй функции, т. е. до того момента, пока они не пересекутся.

Однако для ответа на вопросы задачи необязательно строить графики функций. Достаточно найти решение неравенства 1500 -г 3* < 3000 + 1,5* (значения первой функции меньше, чем значения второй). Решением этого неравенства является * < 1000, что означает: первым видом транспорта выгоднее пользоваться, когда расстояние перевозок не превышает 1000 км. Дальше выгоднее пользоваться вторым видом транспорта. На 1000 км везти груз можно любым видом транспорта (затраты будут одинаковыми).

Теперь рассмотрим применение линейной функции к решению задач оптимизации.

Пример 3.18

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывают 200 т руды в сутки, а на шахте В — 100 т руды в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение

Под тонно-километрами понимается количество тонн руды (/г), перевезенное на определенное количество километров (у). Таким образом, количество тонно-километров равно произведению ky.

Предположим:

• 1) завод строится на шоссе в некоторой точке С (т.е. сумма расстояний АС + ВС = = 60).
• 2) все количество руды, добытое в шахтах, подлежит переработке на этом заводе.

Очевидно, что суммарное количество тонно-километров зависит от расположения завода на шоссе.

Обозначив расстояние АС=х, получим формулу, выражающую количество тоннокилометров:

Таким образом, мы получили функцию зависимости количества тонно-километров от удаленности завода от шахты А.

Полученная функция является монотонно возрастающей и определена на отрезке |(); 60]. Поэтому наименьшее свое значение она принимает на левом конце области определения, т. е. при х = 0. Значит, наименьшее количество тонно-километров равно 6000. Завод нужно строить около шахты А.

Еще одним важным аспектом рассмотрения функций как математических моделей является использование функций, заданных с помощью таблиц.

Очевидно, что с помощью таблицы, как уже отмечалось выше, можно задать только дискретную функцию. Мало того, в таблице обычно указан набор значений в фиксированных точках с выбранной точностью.

Например, в таблице задана функция с шагом Ах = 0,5:

Если требуется определить значение функции в точке х, равной, например, 1,25, приходится прибегать к интерполированию, т. е. к приближенному нахождению неизвестных значений функции по ее известным значениям.

Наиболее простым является случай линейного интерполирования, т. е. приближения неизвестной функции линейной.

Допустим, что в результате изучения некоторого явления и произведенных измерений получены значения некоторого параметра р, которые отражены на графике в виде точек с координатами (?; p (t)). Все эти точки почти ложатся на прямую (рис. 3.4). Это значит, что, допуская некоторую погрешность, можно считать, что зависимость p (t) — линейная.

Пусть известны значения функции у = /(х) y_xvy₂e точках х_х и х₂ соответственно. Предполагаем, что между этими точками функция примерно совпадает с линейной, имеющей такие же значения. Уравнение линейной д-_д~.

функции выглядит следующим образом: у = у а ±—-• Ау_} где Ах = х₂ — х<;

Ах, А у = у₂ — у_х. Таким образом, считают, что на промежутке (х^ х₂) значе;

д_д*.

ния функции /(х)~г/,+—-Ду (интерполяционная формула). Вели;

Ах.

X™ X

чина—-Ау называется интерполяционной поправкой и вычисляется Аг с помощью дополнительной таблицы.

Рис. 3.4. Линейное интерполирование.

Если по заданным значениям функции нужно найти приближенное значение аргумента, то используют обратное интерполирование.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть функция у = /(:х) задана следующей таблицей:

Используя линейное интерполирование, найдем /(1,055).

Решение

Имеем: у_{ = 1,85 и у₂ = 2,55 в точках х_{ = 1,05 и х₂ = 1,1 соответственно;

Ах = х₂-х_х = 1,1 — 1,05 = 0,05 и Ау = у₂— у_х — 2,55 — 1,85 = 0,7. Подставим найденные величины в интерполяционную формулу и получим.

Подставив в эту формулу значение х = 1,055, получим приближенное значение функции:/(1,055) = 1,85 + 14(1,055 — 1,05) = 1,85 + 0,07 = 1,92.

Если точность нахождения неизвестных значений функции с помощью линейного интерполирования по каким-то причинам не устраивает, оказывается недостаточной, то используются другие методы интерполирования, например квадратичное интерполирование.