Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. 
Квантование энергии частицы. 
Объяснение туннельного эффекта. 
Гармонический осциллятор

Для выяснения особенностей решения уравнения Шредингера, рассмотрим поведение микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной «яме». Такой вид потенциала взаимодействия в природе не наблюдается, но он наиболее простой и может демонстрировать основные особенности решения (наиболее близок он к потенциалу, используемому при рассмотрении поведения электрона в металле). Такая потенциальная «яма» описывается следующими соотношениями для потенциальной энергии:

U = в областях 1, 3 для x a; U = 0 в области 2 для 0> x >a.

Запишем стационарное уравнение Шредингера для областей 1, 3, где U=.

(1.14).

его единственно возможное решение =0. Это означает, что вероятность нахождения частицы в этих областях равна нулю и частица туда проникнуть не может.

Для области 2 стационарное уравнение Шредингера имеет вид.

(1.15).

из теории дифференциальных уравнений следует, что его решение имеет вид.

. (1.16).

Вследствие требования непрерывности функции, она должна быть равна нулю в точках x=0 и x=a, что следует из решения для областей 1, 3. Отсюда получается, что должны выполняться соотношения Asin (0)+Bcos (0)=0, Asin (ka)+Bcos (ka)=0 и, согласно математике, это будет при B=0 и ka=n, где n-целое число. Необходимое также условие нормировки (1.12) в данной задаче имеет вид.

(1.17).

взяв этот интеграл, получаем и в результате имеем конечное выражение для возможных решений уравнения Шредингера в поставленной задаче.

. (1.18).

Данное решение показывает, что поведение микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной «яме» может быть различным в зависимости от значения числа n, его называют квантовым числом и рассматривают как номер возможного состояния микрочастицы.

Рассмотрим графики функции ²), которая согласно (1.8) определяет вероятность нахождения частицы в разных точках «ямы» для различных состояний.

Что во втором и в третьем состояниях микрочастица не может находиться в некоторых точках «ямы» A, B, C, однако она может находиться между этими точками. Кроме этого, видно, что минимальное значение полной энергии Е₁, которая в области 2 является кинетической энергией, не равна нулю, это означает что частица находится в непрерывном движении. Такое поведение микрочастицы существенно отличается от поведения макрочастиц и приводит к тому, что в квантовой механике не может быть использовано классическое понятие траектории.

Используя найденные соотношения ka = n и (1.16), получим выражение для полной энергии частицы.

(1.19).

которое показывает, что энергия частицы в разных состояниях различна и строго определена (имеет дискретный спектр). Других значений энергии частица иметь не может, возможные дискретные значения называют квантовыми уровнями энергии. Подобное квантование у микрочастиц может происходить и с другими параметрами: импульсом, моментом импульса.

Если рассмотреть таким же образом более реальную ситуацию, когда частица находится в одномерной потенциальной «яме» конечной глубины (U = Uo в областях 1,3 для x a; U = 0 в области 2 для 0 > x > a), то, в отличие от случая бесконечно глубокой ямы, функция ² не будет равна нулю в областях 1, 3 даже при малых энергиях частицы.

Это означает, что частица может выйти за пределы потенциальной «ямы» даже в случае, когда ее энергия меньше Uo, чего в классической механике происходить не может. Подобное явление наблюдается и при рассмотрении поведения микрочастицы вблизи одномерного потенциального «барьера» (U = 0 в областях 1,3 для x a; U = Uo в области 2 для 0 > x > a). Если решить уравнение Шредингера в этом случае, то можно обнаружить, что частица с энергией меньшей Uo может проходить сквозь этот «барьер».

Такие явления прохождения сквозь потенциальные барьеры частиц с малой энергией являются чисто квантовыми и называются «туннельными эффектами». Экспериментально эти явления наблюдаются с микрочастицами в различных ситуациях: автоэлектронная эмиссия — выход электронов за пределы металлов при малых температурах, автоионизация — выход электронов из атомов и молекул под действием слабого электрического поля, когда энергии поля бывает недостаточно для вырывания электрона с точки зрения классической механики. В физике элементарных частиц подобное явление наблюдается в радиоактивном излучении при выходе альфа частиц из ядер атомов.

Очень важным для атомной физики является рассмотрение поведения микрочастицы в силовом поле, когда потенциальная энергия зависит от координаты x в соответствии с законом, этот случай соответствует в классической механике гармоническим колебаниям тела массой m с циклической частотой _o (гармонический осциллятор). Примерно такие колебания в мире микрочастиц происходят при движении атомов в молекуле, а также при колебаниях молекул около узлов кристаллической решетке в твердых телах.

В классической механике гармонический осциллятор может иметь любую произвольную полную энергию Е, а его максимальное смещение от положения равновесия (амплитуда колебаний) x_o ограничено и связано с энергией соотношением. В квантовой механике для анализа характеристик особенностей движения гармонического осциллятора необходимо решить уравнение Шредингера с данной потенциальной энергией.

. (1.20).

Решение такого дифференциального уравнения в аналитическом виде достаточно сложно, но качественные особенности аналогичны предыдущим случаям.

Возможные значения для полной энергии при решении определяются формулой.

. (1.21).

Из этой формулы видно, что полная энергия гармонического осциллятора тоже квантована, а ее минимальная величина при n = 0 отлична от нуля, также как и в предыдущих случаях. Наличие энергии нулевых колебаний — это чисто квантовый эффект, он говорит о том, даже в области нулевой потенциальной энергии у частицы имеется ненулевая кинетическая энергия и ненулевой импульс. Это означает, что микрочастица постоянно двигается и не может находиться в абсолютном покое.

Подтверждение наличия нулевых колебаний было получено в экспериментах по рассеиванию света в кристаллах. Согласно классической теории, при абсолютном нуле температуры по Кельвину колебаний атомов около узлов кристаллической решетки и соответственно рассеивания света, вызываемого этими колебаниями, не должно быть. Эксперименты показывают, что интенсивность рассеянного света при уменьшении температуры уменьшается, но даже при температурах очень близких к абсолютному нулю интенсивность рассеянного света не нулевая, что доказывает наличие нулевых колебаний.

Все выше приведенные варианты решений уравнения Шредингера и наличие в экспериментах эффектов, объясняемых рассмотренными примерами, указывают на необходимость использования квантово-механического описания поведения микрочастиц.