Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Значимость коэффициентов Ь₀ и Ь_х проверяется е использованием^{-статистики} Стьюдента.

Проверяются гипотезы:

Проверка гипотезы Н₀: р^ = 0,j = 0, 1. Данная гипотеза используется для установления значимости каждого эмпирического коэффициента регрессии Ь_}.

Рассмотрим коэффициент Ь_{. Если гипотеза #₀ принимается, то делается вывод о том, что коэффициент Ь_{ статистически незначим и линейная зависимость между Y и X отсутствует. Если гипотеза #₀ отклоняется, то коэффициент Ь_{ считается статистически значимым, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между Y и X.

Так как для гипотезы Н₀ (З_у = 0, то соответствующая^{-статистика} имеет вид.

Приведем формулы для вычисления^{-статистик} для коэффициентов Ь₀ и Ь_{.

Коэффициент b_{. — стандартная ошибка (среднее квадратическое отклонение) коэффициента регрессии Ь_{:

Здесь

Сравнивается рассчитываемое по этой формуле наблюдаемое значение критерия ?_набл (формула (3.24)) с полученным по таблице распределения Стьюдента критическим значением ?_кр = t_a. _п_₂. Критерий Стьюдента зависит от уровня значимости, а и числа степеней свободы v = п — 2.

Если |?_набл| > ?_кр, то нулевая гипотеза Я₀: Pi = 0 отвергается в пользу альтернативной Н_х Pj Ф 0. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии Ь_{.

Коэффициент Ь₀. Здесь 5^ — стандартная ошибка коэффициента регрессии Ь₀:

Гипотеза //₀, относящаяся к коэффициенту регрессии 6₀, проверяется аналогично.

Замечание 3.2. Необходимо быть осторожным при проверке значимости свободного члена А₀:

• 1) обычная выборка, и пространственная, и временная, часто не содержит наблюдений вблизи точки X = 0;
• 2) при отсутствии наблюдений на каком-либо участке объясняющей переменной оцененная регрессионная зависимость не может быть в данном месте достоверной.

Свойства дисперсий оценок Ь₀ и Ь_{:

• 1) дисперсии 5^ и 5^ прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения а (г). Следовательно, чем больше фактор случайности, тем менее точными будут оценки;
• 2) чем больше число наблюдений п, тем меньше дисперсии оценок;
• 3) чем больше дисперсия объясняющей переменной, тем меньше дисперсия оценок коэффициентов регрессии. Другими словами, чем шире область изменений объясняющей переменной, тем точнее будут оценки (тем меньше доля случайности в их определении).

Взаимосвязь критериев. В парном линейном регрессионном анализе эквивалентны следующие критерии:

Здесь t_b[ и t_r — выборочные значения статистики Стьюдента для коэффициента Ь_х и коэффициента корреляции г • F — выборочное значение статистики Фишера. Связь между этими критериями определяется равенством.

Это справедливо для критических значений критериев при любом уровне значимости:

Вывод. В парном регрессионном анализе проверки статистической значимости коэффициента Ь_и коэффициента корреляции г и коэффициента детерминации R² эквивалентны. Подчеркнем, что выражение (3.30) справедливо только для парного регрессионного анализа.

Замечание 33. Приведем еще одну формулу для вычисления коэффициента регрессии через коэффициент корреляции:

где

Пример 3.3.

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии, полученного по данным примера 3.1.

Решение. Ранее было получено: Q,. = Q, — Q_R = 763,600 — 706,874 = 56,726; Q, = 10.

= 135,6; Jjcf = 2040.

(=i.

Уравнение регрессии у, = 3,295 + 2,283ж,.

Пусть доверительная вероятность у = 0,95. Критическое значение г_кр при уровне значимости а=1-у=1- 0,95 = 0,05 находится по таблице двусторонних квантилей распределения Стыодента: г_кр = t_{0 05}.₈ = 2,306. Вычисляем.

Проверяем значимость коэффициента Ь_х (формула (3.24)):

Следовательно, коэффициент b_{ значим; гипотеза #₀ отклоняется в пользу гипотезы Я].

Проверяем значимость коэффициента Ь₀:

Следовательно, коэффициент Ь₀ незначим; принимается гипотеза Я₀.

Вывод. Подтвержденная значимость коэффициента Ь_х говорит о линейной зависимости Y от X построенного уравнения регрессии.

Замечание 3.4. Приближенное правило оценки значимости коэффициентов регрессии без использования таблиц следующее:

• 1) если наблюдаемая статистика коэффициента _b. |<1, то коэффициент bj не может быть признан значимым, так как доверительная вероятность у менее 0,7;
• 2) если 1 < |t_hj | < 2, то найденная оценка может рассматриваться как относительно (слабо) значимая. При этом доверительная вероятность у лежит между 0,7 и 0,95;
• 3) если 2< _b. |<3, то коэффициент значим. Доверительная вероятность у лежит между значениями 0,95 и 0,99;
• 4) если 3 < | t_bj |, то это почти полная гарантия значимости коэффициента.