Предпосылки классической линейной регрессионной модели (условия Гаусса — Маркова)

Чтобы регрессионный анализ, основанный на МНК, давал иаилучшие результаты, должны выполняться определенные предпосылки (условия Гаусса — Маркова).

• 1. Математическое ожидание случайных отклонений в, равно нулю: А/(в,) = 0 для всех наблюдений. Это означает, что случайное отклонение не должно иметь систематического смещения.
• 2. Дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений:

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичпостъю, а ее невыполнимость — гетероскедастичистью.

3. Случайные отклонения е, и е, (г Ф j) не коррелируют между собой (отсутствует автокорреляция):

4. Случайные отклонения должны быть статистически независимы (некоррелированы) от объясняющих переменных.

Дополнительное условие. Наряду с условиями Гаусса — Маркова обычно предполагается, что случайное отклонение имеет нормальный закон распределения:

Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии.

где Ь₀ и Ь_{ — оценки параметров (3₀ и (3_t (b₀ и Ь_{ — эмпирические коэффициенты регрессии).

Используя найденные оценки Ь₀ и Ь_х, можно найти расчетные значения уj переменной у:

Теорема 3.1 (Гаусса — Маркова). Если выполнены предпосылки 1—4 КЛРМ, то оценки Ь₀ и полученные по МНК, обладают следующими свойствами'.

1) являются несмещенными, т. е.

• 2) являются эффективными, т.е. имеют наименьшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок;
• 3) являются состоятельными, т.е. при увеличении объема выборки дисперсии оценок стремятся к нулю.

Замечание 3.1. Если предпосылки 2 и 3 КЛРМ нарушаются, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, а свойство эффективности — нет, т. е. дисперсия оценки не наименьшая.

Пример 3.1.

В табл. 3.1 приведены выборочные значения спроса у_х и среднего дохода покупателей. Используя метод наименьших квадратов, построим уравнение парной линейной регрессии зависимости спроса от среднего дохода.

Таблица 3.1

Исходные данные к примеру 3.1.

Решение. Вычисляем необходимые суммы и средние значения (вычисления проводятся с точностью до 3-го знака после занятой):

Результаты вычислений приведены в табл. 3.2.

Результаты вычислений к примеру 3.1.

Таблица 3.2

Вычисляем вспомогательные величины Q_v, Q :

Вычисляем коэффициенты выборочного уравнения регрессии:

Ответ. Выборочное уравнение парной линейной регрессии имеет вид