Индексный анализ и индексные системы

С помощью индексов решаются две задачи: обобщение материала и его анализ. Совершенно очевидно, что когда большое количество единиц признака заменяется индексом, то исходные данные сводятся к этому одному показателю. Поэтому расчет индексов должен быть точным.

Индексы позволяют определить влияние нескольких факторов на сложный процесс. Анализ процесса с выделением влияния на него каждого фактора можно проводить разными способами: в виде функции со степенной зависимостью каждого фактора (эргономика) или с помощью сложных, агрегатных индексов. Так, в агрегатных индексах товарооборота отчетливо проявляется влияние либо цены, либо количества реализованных товаров на объем выручки.

Индексы являются одним из видов обобщающих показателей, причем в экономике это важнейшие обобщающие показатели, в том числе в силу того, что они позволяют осуществлять агрегатирование, т. е. суммировать элементы, которые напрямую не поддаются сложению.

В зависимости от степени обобщения индексы бывают четырех видов:

• • индивидуальные индексы;
• • агрегатные индексы;
• • общие индексы по отдельным отраслям, территориям и регионам;
• • сводные индексы показателей целиком по промышленности, стране.

Для какой либо величины, назовем ее т, индивидуальный индекс i_m — обычный относительный показатель, в котором соотносятся текущие и базисные данные:

где т j и т₀ — значения величины соответственно в текущий (отчетный) и базисный периоды.

В данном случае т — это качественная характеристика (наименование) изучаемых цифр, или индексируемый признак. Например, пусть показатель т для цены — р. Индивидуальный индекс цены i_p рассчитывают по формуле.

где р_а и р₀ — значения цены товара соответственно в текущий (отчетный) и базисный периоды.

Аналогично рассчитывается индивидуальный индекс количества i_q:

Для любого индексируемого показателя т, расчет индивидуального индекса i_m выполняют по формуле.

где m_i — показатель, относительное изменение которого необходимо определить Например, когда рассматривается изменение цен на несколько однородных товаров, то используют формулу.

Индивидуальные индексы не имеют веса. Продемонстрируем эту особенность.

Пример 1.16.

Определим цену для продовольственного товара, имеющего по качеству три ценовые категории: обычная, повышенная и «высшая». Приведем для данного товара текущие цены за 1 кг: Ijj_л = 250 руб., Ц_{2 л} = 420 руб. и Ц_3л = = 850 руб., — и его цены за сравниваемый (базисный) период: Ц_1Л = 235, Ц₂ о = 390 и Ц₃ о = 680 руб.

Тогда индивидуальный индекс цены i_p, рассчитанный по формуле (1.19), равен:

Судя по величине индивидуального индекса, цена этих трех товаров увеличилась в долях на 0,1647, или на 16,47%. По отдельным категориям товаров индексы составили:

Таким образом, хотя повышение цен по двум товарам составило 6,4% и 7,69% соответственно, значительное повышение на 25% цены на товар категории «люкс» привело к искажению общего результата увеличения цены, к так называемому «самовзвешиванию». Полученная величина 16,48% — это ошибочная величина. Поэтому резкое различие в значениях чисел (их несоизмеримость) в индивидуальных индексах недопустимо.

Есть еще одно ограничение применения индивидуальных индексов — нельзя суммировать элементы, которые напрямую не поддаются сложению. В рассмотренном примере 1.16 речь шла о мясе — говядине, причем под высшей категорией подразумевалось мраморное мясо для стейков. Например, в расчете индивидуального индекса к ценам за килограмм говядины не прибавишь цены за килограмм различных сортов баранины — иначе показатель какого товара мы получим?

От указанных недостатков избавлены агрегатные индексы, которые складывают не цены отдельных товаров, а произведения цен на объем этих товаров. Таким образом, складываются величины, имеющие экономический смысл, — либо объемы выпуска, либо объемы продаж товаров.

Агрегатирование помимо учета весов позволяет оперировать различными категориями: не только с ценами на товары, но и затратами на них, анализировать банковскую, налоговую и иные сферы деятельности.

Агрегатные индексы суммируют произведение величины единицы признака на его количество («вес»). Эти индексы, как и индивидуальные индексы, — относительные показатели, поэтому, чтобы выявить влияние одного показателя, применяют правило: индексируемый параметр меняется, а «вес» — нет. Приведем формулы агрегатных индексов цены (/_р) и количества (I_q):

где р — индексируемый параметр; q — «вес»;

где р — «вес»; q — индексируемый параметр;

где буквы «п» и «л» в индексе I обозначают соответственно «Пааше» и «Лайсперес» — фамилии экономистов, предложивших данные индексы.

Как видно, в индексах цены сам индексируемый параметр — цена — всегда меняется: в текущем периоде и в базисном периоде в числителе к знаменателю их отношение записано как р: р₀. Аналогично в индексе количества меняется индексируемый параметр q: в этом индексе всегда существует отношение q₁:q₀. Когда «вес» зафиксирован в текущем периоде (1) — это индекс Пааше, а если «вес» зафиксирован в базисном периоде (0) — это индекс Лайспереса.

Вернемся к примеру 1.16 и укажем объемы продаж товара в текущем периоде: q,_л = 150 кг; q₂.i = 210 кг; q_{3 л} = 65 кг, — а также и в базовом периоде: q_: о = 162 кг; q₂₀ = 218 кг; q_{3 0} = 62 кг. Затем рассчитаем агрегатный индекс цен, когда учитываются два параметра — цены и объемы продаж:

Таким образом, без «самовзвешивания» рост цен на продукт составил не 16,48%, а 13,63%. Именно показатель 13,63% отражает уровень роста цен в этом конкретном случае.

Агрегатные индексы основаны на экономико-математическом подходе и необходимости выбора способа взвешивания, когда обобщаются несопоставимые между величины.

Наиболее распространено использование в агрегатных индексах использование двух единиц признака, хотя встречаются и индексы с тремя, четырьмя и более параметрами. При этом если форма связи включает три и более параметра, то такие индексы называются аналитическими.

Проанализируем для примера в общем виде трехфакторную модель налогообложения, где выбраны следующие переменные параметры:

а, — налоговые ставки на малый бизнес;

fa_; — база налогов (суммы денежных средств, с которых берутся налоги);

с_к — количество налогоплательщиков конкретных видов налога.

Заметим, что в индексах широко применяется метод подстановки, который проявляется и при изучении влияния каждого из названных факторов.

а

Например, существует основной экономический показатель у=—,.

fa.

а с

а кроме того существуют два промежуточных показателя х =— и z =—,.

с fa.

произведение которых равно.

Здесь используется метод подстановки, при котором анализ основного экономического показателя у включает рассмотрение двух промежуточных показателя х и z:

Для перечисленных выше переменных трехфакторная модель содержит две формы записи.

Форма записи 1

Также нужно добавить диагональные пунктирные линии. В целом запись должна выглядеть как на скриншоте, только «Влияние» — с прописной (набранная формульная запись — под скриншотом):

В общем индексе порядок разнесения числителя ^и знаменателя ^а₀Ь₀с₀ для двух вариантов отличается: в форме записи 1 числитель записан вначале (влияние а), а в форме записи 2 — в конце (влияние с). Следовательно, теоретически метод подстановки «работает» как в первой форме записи (справа налево), так и во второй (слева направо).

Рассмотрим связи, которые выявляются с помощью агрегатных индексов, и запишем их в виде следующих уравнений.

1. Мультипликативное уравнение (эффект усиления):

где Х₍ — величины признака в рассматриваемом процессе.

2. Аддитивное уравнение (эффект сложения):

Возьмем уравнение с двумя слагаемыми, которые для текущего и базисного периодов примут вид.

где Y_i — результат сложения двух параметров; X, и Ъ_х — значения двух параметров или различных по наименованию единиц признака. Отношение Y_rY₀ — это агрегатный индекс I_Y:

Преобразуем правую часть формулы (1.26):

В итоге индекс аддитивных функции двух слагаемых примет вид.

Рассмотрим конкретный случай, связанный с аддитивной связью в агрегатном индексе (пример 1.18).

Пример 1.18.

Количество различных командировок сотрудников как в другие города, так и местных для монтажно-строительной фирмы дано в табл. 1.11. Требуется определить агрегатный индекс командировок, который учитывает два вида командировок Тогда по формуле (1.28) получим следующий результат:

Как видно, изучаемый показатель — число командировок — возросло на 24%. Проверочный расчет можно провести по формуле (1.18):

Таблица 1.? 7.

Число различных командировок сотрудников, выполненных на фирме.

Если исходные данные не позволяют (из-за отсутствия тех или иных сведений) исчислить агрегатный индекс, то прибегают к индексам средних величин, в том числе и средним гармоническим индексам. Так, например, индекс физического объема товарооборота, или агрегатный индекс количества, может быть заменен на средний гармонический индекс:

• Я]

где i_q= — — индивидуальный индекс количества,.

Аналогично вычисляются гармонические индексы цен:

Яо

или.

Pi

где 1″ —-индивидуальный индекс цены,.

В гармоническом индексе количества может применяться индивидуальный индекс цены и наоборот, например:

Ро или.

Три направления применения агрегатных индексов:

• • обобщить результаты с несоизмеримыми в количественном отношении единицами признака;
• • для сложного явления, процесса или показателя выявить влияние на них отдельных параметров, т. е. провести факторный анализ;
• • изучить изменение структуры процесса, явления, используя индексы средних величин.

В экономике многие показатели между собой связаны: например, на товарооборот влияют не только цены, но и объемы продаж. Агрегатные индексы позволяют обособленно друг от друга выявить влияние на товарооборот или цены, или объема продаж. Их совместное воздействие на товарооборот также возможно установить, если воспользоваться индексной системой.

Например, поскольку произведение цены на количество товара при продаже обуславливает выручку, в данном случае индексная система товарооборота примет следующий ид:

где I_pq — агрегатный индекс товарооборота, или отношение доходов от продаж в текущем периоде к доходам в базовом периоде; 1_р — агрегатный индекс цены; I_q — агрегатный индекс количества.

Раскроем индексную систему товарооборота в двух вариантах с использованием агрегатных индексов Пааше и Лайспереса:

Уравнения по формулам (1.36) и (1.37) составлены, исходя из правила: для того чтобы написать индексную систему, во втором из индексов необходимо сменить «вес».

Когда от относительных величин нужно перейти к абсолютным величинам различия показателей в товарообороте, прибегают к вычислению разницы между числителем и знаменателем по всем трем индексам. Так, для системы индексов, указанной в формуле (1.36), можно получить следующие величины абсолютной разницы параметров по формулам (1.38)—(1.40):

• общее изменение товарооборота за текущий период по сравнению с базисным периодом в денежном выражении:

• влияние цен на товарооборот в денежном измерении:

влияние объема продаж на товарооборот в абсолютных величинах:

По вычислении абсолютных величин проводят проверку полученных результатов, чтобы убедиться, что выполняется равенство индексной системы: общий товарооборот складывается как результат влияния на него цены и количества, т. е.

Остальные пояснения по проведению индексного анализа будут даны в последующих главах с примерами практического использования индексного анализа, включая индексные системы.