Пример Маркова: описание задачи (общее)

«Из сосуда, содержащего а белых и b черных шаров и никаких других, вынимают одновременно или последовательно аг (3 шаров. Причем в случае последовательного вынимания ни один из вынутых шаров не возвращают обратно в сосуд и новых шаров туда также не подкладывают. Требуется определить вероятность события Р, что среди вынутых таковым образом шаров будет а белых и (3 черных».

Численное решение 1 (на основе классического определения вероятности). Рассмотрим, как поступает Марков в примере, описанном в своей работе. Хотя, если быть точным, ои излагает вначале решение в общем виде, а затем переходит к примерам. Но мы отклонимся немного от порядка его изложения, возьмем пример: а = 3, b = 4, а = 2, |3 = 2.

Марков нумерует эти шары в соответствии с правилом № 13 для руководства ума Р. Декарта: «Если мы вполне понимаем вопрос, его надо освободить от любого излишнего представления, свести к простейшему вопросу и посредством нумерации разделить на возможно меньшие части»¹.

А мы дополнительно применяем правила визуализации (название авторов) № 14 и 15^[1][2], облегчающие решение задачи за счет обострения внимания (рис. 13.2).

Рис. 13.2. Пронумерованные шары белого и черного цвета.

«Номера на вынутых четырех шарах (а + (3 = 4) могут представить любую из числовых возможностей», образующих иоле разных четырехзначных чисел, простым их перечислением из рис. 13.2 непосредственно вместе с Марковым в табл. 13.1.

Таблица 13.1

Равновозможные случаи.

Это своего рода разные зарплаты 35 сотрудникам. И, действительно, эти числа появляются у Маркова делением числа размещений из семи шаров по четыре в разном порядке на количество перестановок шаров-цифр

• 7 6 5 4
• 1−2-3−4

т. е. определяется число сочетаний, которое равно 35,.

(чтобы убрать повторы типа 4123 = 1234 и т. д.) по формуле___ =35.

или.

• 1−2-3−4-5−6-7
• 12−3 4−12−3 проверяемое прямо по таблице визуально.

Если же вынуты два белых и два черных шара в соответствии с требованиями задачи, то число таких комбинаций можно определить прямым подсчетом. Это сделано выделением фоном на приведенной ниже табл. 13.2 (это число благоприятных случаев).

Таблица 13.2

Благоприятные случаи (два белых и два черных шара).

Непосредственно из таблицы замечаем, что число закрашенных чисел, представляющих комбинации из двух белых и двух черных шаров, равно 18.

/ ^{32 43} 104.

• (что и следовало ожидать, поскольку ууу^- = 18).
• 18

Таким образом, искомая вероятность Р = —.

Численное решение 2 {на основе цепей), выполненное Марковым. «Обращая внимание на порядок вынутых шаров, — пишет Марков, — мы можем разбить событие, вероятность которого мы ищем, на такие виды» (цепочки, рис. 13.3).

Рис. 13.3. Порядок вынутых шаров

Или в буквенном представлении (буква «б» указывает на белый цвет, а буква «ч» — на черный цвет шара):

«Число этих видов рассматриваемого события:

Это видно прямо и из рис 13.3.

Вероятности видов этого события (для краткости назовем данное событие как «26 + 2ч») согласно теореме умножения вероятностей (для шести коротких цепей Маркова) выражаются как:

где круглые скобки мы используем для вычисления вероятности выпадения белых шаров, а квадратные — для черных шаров.

_Т/Т — «18.

Используя теорему сложения вероятностей, получим Р = — .

Зэ Таким образом, получены искомые вероятности Р = ^ в обоих решениях задачи «26 + 2ч». И это очень важно!

Примечание. Именно важно и доказано Марковым. Схема урн эквивалентна цени Маркова. И дело не только в эквивалентности или в переходе к более удобным обозначениям и терминологии Маркова (как ядовитенько отмечает заслугу Маркова Феллер в 1-м томе своего курса по теории вероятностей, касаясь терминологии на с. 366). А дело в деле (тут Феллср справедлив). Во-первых, ответ к задаче получен более простым путем. Во-вторых, путь цепи очень близок к реальным последовательным измерениям изменения свойств объекта во времени, его надежностных свойств. Это когда вы сняли показания параметра 5_; испытуемого объекта в момент tj (i-й замер) и прогнозируете (ожидаете) его значение (г + 1)-го замера ^/+1 в момент ?_/+1. Вот в чем фишка (выражаясь на языке молодежного сленга) цепей Маркова для молодого технолога-эксперименгатора, занятого, например, выращиванием нанослоев оксидов для защиты металлических пленок от коррозии.

Второе решение рождено Марковым на основе следующих рассуждений:

«Для отличия вынутых шаров друг от друга положим, что независимо от цвета они размещены в каком либо порядке, и соответственно этому припишем им номера 1, 2,…, а + р.

Наши номера могут указывать порядок появления шаров, если шары вынуты из сосуда последовательно. После этого для определения вероятности рассматриваемого события, которое состоит в появлении, а белых и Р черных шаров, мы можем разбить его на отдельные виды, отличающиеся друг от друга порядком белых и черных шаров. Число видов равно.

и каждый из них состоит в белом цвете, а шаров, отмеченных определенными номерами, и в черном цвете остальных вынутых шаров.

Останавливаясь на любом из этих видов, заметим, что он приводится к одновременному существованию, а + Р событий Е_{} Е_ъ Е_к,…, ?_а+р, где Е_к означает определенный цвет, белый или черный, шара с номером k.

Вероятность же одновременного существования всех событий Р (Е_{, Е_2у …, Е_к>…, Е_а+р) выражается согласно теореме умножения вероятностей ироизведением (далее круглые скобки используются согласно Маркову вместо Р_У а (,) — для условной вероятности. — Прим. авт.)

где (E_k, E_{E₂…E_k_1) представляет вероятность события E_k, когда известно существование событий Е_х, Е₂,Е_к__{".

Последние выражения являются прообразами цепей Маркова, ход размышлений которого мы хотели себе представить, идя от примера к обобщению, в надежде пробуждении интереса читателей к оригинальным источникам научных знаний, в их числе — вытекшим из родника санктпетербургской математической школы, созданной учителем А. А. Маркова — П. Л. Чебышёвым.

Примечания. 1. Понятие условной вероятности некоторые ученые хотят ввести в аксиоматику теории вероятностей. Напомним, что не случайно сам Марков к идее аксиоматизации относился скептически. А мы бы, как надежностники, поддержали смелых математиков, не боящихся поколебать авторитет А. Н. Колмогорова, в таком почине. Ниже, но чуть позднее, мы покажем эту связь цепей и надежности.

2. Нам кажется, что понятие вероятности может быть интерпретировано на основе учения о симметрии, которое имеет глубокие связи с группами Галуа и теорией матриц¹. Поясним мысль о симметрии, воспользовавшись указанной книгой:

«Симметрия некоторого математического объекта — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта. Пример — равносторонний треугольник (рис. 13.4), имеющий шесть видов симметрии — три в отношении поворотов на 120, 240 и 360° + три отражения в отношении „заземленных“ на рис. 13.5 для наглядности восприятия нами углов»^[3][4].

Рис. 13.4. Равносторонний треугольник, имеющий шесть видов симметрии

Рис. 13.5. Иллюстрация рождения симметрий с обозначениями I, U, V, Р, Q, R, принятыми Стьюартом Их нетрудно увидеть экспериментально за счет разметки кружочками^[5] или черными и белыми шарами и наших стрелок, показывающих рождение симметрий (см. рис. 13.5), с обозначениями I, U, V, Р, Q, R, принятыми Стьюартом. Углы, остающиеся на месте, помечены «заземлением», а толстыми стрелками дана связь переходов симметрий.

Заметим, что верхняя и нижняя строки в треугольниках получаются поворотом треугольников, как и обход «заземления» углов, но с показом зеркального отражения (перестановка углов с шарами).

В этом смысле вероятность события I (интерпретируется как 1, или поворот треугольника на 360°) «вычисляется» через произведения / = IUV (вращение треугольника с шарами по часовой стрелке, а в соответствии с групповыми операциями первой операцией является V, второй — U, третьей — I. Механизм вероятности задан направлением вращения (левого или правого) в отношении сторон (чтобы вращать, надо прикладывать усилия).

Аналогично /= IPQR, где механизм вероятности задан физикой зеркального отражения в отношении углов с шарами. Очевидно, что здесь просматривается глубокая аналогия с выражениями для цепей Маркова, в которых широко используется понятие условной вероятности, и марковскими структурными элементами P (IUV) и P{IPQR}, отображающими ее алгебраические и геометрические связи как с группами Галуа, перестановками и представлениями преобразований, так и со строчными (одномерными) матрицами.

3. Современность. Благодаря последним выражениям мы легко попадаем в область актуальных проблем настоящего времени — анализа и прогнозирования надежности таких объектов, как ТС и др. Или, как названо у Маркова, к оценке вероятности будущего объектов, которое не зависит от прошлого, а только от настоящего. Это так называемые процессы без последействия. Цепь Маркова (ЦМ) возникает (казалось бы — мелочь) повторением (транспонированием) марковского элемента (наш термин, см. также ФБМ), или, что-то же, условной вероятности (см. далее).

• [1] См. Декарт Р. Сочинения. В 2 т. / пер. с лат. и франц. М.: Мысль, 1989. Т. 1. С. 126—127.
• [2] Там же. С. 132−143.
• [3] Стюарт И. Истина и красота. Всемирная история симметрии / пер. с англ. Л. Семиха-това. М.: Астрель; Корпус, 2010. С. 3.
• [4] Там же. С. 185.
• [5] Стюарт И. Истина и красота. Всемирная история симметрии. С. 188.