Логические связки высказываний

Переход от содержательной (вербальной) записи рассуждения к формальной выполняется интуитивно с выделением логических связок и предположением, что высказывания-условия в связках правильных рассуждений всегда истинны. Если условие нарушается, то связки изменяются, теряется смысл рассуждений — они становятся ложными, противоречивыми или бессмысленными.

Связки, представленные специальными символами, могут обозначать операции. При этом составные высказывания записываются в виде математических формул, к которым возможно применение формальных алгебраических методов преобразования, и их истинность сохраняется при сохранении истинности простых высказываний.

В данной главе основное внимание уделяется логике рассуждений с использованием алгебраических преобразований, эквивалентных некоторым очевидным содержательным логическим рассуждениям. В дальнейшем эти преобразования будут обобщены в главе, посвященной алгебре логики.

Истинный смысл составных высказываний в алгебре логики формально и однозначно определяется таблицами истинности. В таблице истинности перечисляются все возможные наборы аргументов и значения функции на этих наборах. Строки упорядочиваются по возрастанию двоичных наборов аргументов. Таким образом, первая строка содержит нулевой набор, а последняя — единичный с десятичным значением 2^п — 1, где п — число аргументов функции.

Рассмотрим основные операции.

1. Унарная связка отрицание (НЕ,-i).

В высказываниях с частицей (приставкой) НЕ считаем истинным высказывание с инверсным свойством, отношением, событием:

Если выказывание А истинно (7), то —А ложно (F).

В языке логики используются символические определения связки НЕ (-i) и атомов Л.

Формула символической логики: Ф = —А.

Пример: забастовка продолжается (Л) и забастовка не продолжается (—|Л), или забастовка закончилась (Л) и забастовка продолжается (-|Л), или забастовка не продолжается (-«Л) и забастовка не закончилась (Л).

Смысл этих предложений относительно Л и (—А) не меняется.

В символических обозначениях первых двух предложений может быть выбрано любое значение истинности для символа Л. Но в последнем явно предполагается инверсное значение (-Л). Таким образом, если в определенном контексте встречается явное отрицание события Л, отношения или свойства, то необходимо выделять его со значением истинности и с отрицанием (—1Л).

Предполагается, что любому высказыванию Л соответсвует единственное с инверсным смыслом высказывание (-Л), и наоборот.

В дальнейшем для обозначения логического смысла используется двоичное кодирование (Г, F) ~ (1, 0) и таблица истинности может быть записана как.

Если переход от естественной записи Wк формальной записи —iWпроще выполнить в инверсной форме, то можно вернуться к прямой форме инверсией W = —?(—* W). Это утверждение рассматривается как закон двойного отрицания на множестве высказываний.

Высказывание А разрешимо, если можно определить по смыслу его отрицание -А.

Бинарные связки в символических обозначениях {&, v, —>}, из которых {&, v} — также алгебраические операции, определяются следующими таблицами истинности.

2. Конъюнкция (И, &):

Содержательно связка определяется высказыванием: «Составное высказывание (Ф = А & В) истинно (Г) тогда, когда, А истинно И В истинно (7), иначе ложно (F)».

Двойственное высказывание: «Опровержение, что, А или В ложны» (-1Ф = = -н (Л & В) =-A v -.В).

Таким образом, в составном вербальном высказывании без явного использования связки НЕ всегда подразумевается истинность конъюнкции (Т) и предполагается в символической записи Ф = А & В.

Однако согласно таблице истинности значения аргументов и функции могут быть ложными. Такие функции называют выполнимыми. Также в инверсной двойственной записиФ = —А v -.В высказыванияФ, —А, -иВ предполагаются истинными.

В естественном языке связка И может явно отсутствовать, вместо нее могут использоваться противопоставление (А — число четное, но В — число отрицательное) и элементы синтаксиса: запятые, скобки, несколько подлежащих или прилагательных. В текстах программ C++ аналогом является оператор

|| Ф = А & В для типов данных bool и char.

Ф = (А & В), —)Ф = —A v —В — выполнимые функции, они могут принимать различные значения с различными наборами значений переменных.

К сожалению, переход от содержательной записи к формальной затруднителен. Кроме синтаксиса необходимо учитывать контекст, для которого нет совместимых в языке логики средств формальной записи.

Проверять любую функцию на выполнимость, перебирая все комбинации значений переменных, — громоздкий метод в приложениях. Таким образом, можем ошибаться, и в записи появится под символом & другая функция. Очевидно, это повлечет за собой дальнейшие ошибки в рассуждениях.

3. Дизъюнкция (ИЛИ, v):

Содержательно связка определяется высказыванием: «Составное высказывание Ф = (Л v В) истинно (7}, когда любое из высказываний истинно (Т), иначе ложно (F)».

Пример вербальных дизъюнкций: «В преступлении могли участвовать А, В, С» — формула рассуждения Л & В & С скорее всего неправильная, и выбираем A v В v С, так как некоторые из {Л, В, С} могли не участвовать.

Здесь в формуле (Л v В) принято символы Л и В трактовать как раздельно или вместе истинные.

В языке C++ используются логические поразрядные операции с типами bool и двоичными кодами.

|| Ф = А|В.

Закон исключения третьего (Л v —А) = Т позволяет выбрать в классической логике, какое из высказываний с конкретным смыслом истинно.

Двойственное высказывание «ложно, что, А или В истинны»: -Ф = -1 (Л v v В) = (—А & -лВ), что по смыслу эквивалентно высказыванию «истинно, что, А ложно и В ложно» с таблицей истинности.

4. Эквивалентность (~):

Сравнение в логике представлено связкой эквивалентности в составном высказывании (Л ~ В): «Результат сравнения истинный (7) только тогда, когда совпадают значения истинности простых высказываний А и В», что можно записать также следующей формулой: Ф = (Л ~ В) = (Л & В) v (-Л & -iВ).

Инверсное высказывание: «Высказывание, А ~ В ложно (F) тогда, когда Л и В имеют разные значения истинности», илиФ = —|(Л ~ В).

5. В формальной записи эквивалентных рассуждений может использоваться инверсная связка Исключающее ИЛИ (ЛИБО, ЛИБО), -i(А ~ В):

Пример: «Сидоров ходит в школу ТАК ЖЕ, КАК Петров» = «Сидоров И Петров в школе ИЛИ Сидорова НЕТ в школе И Петрова НЕТ в школе».

Предложения со связкой эквивалентность допускают различные условия истинности Т и F, и как логическую связку ее необходимо отличать от равенства (тождества) (А ~ В) = Т> или (А = В), в частных рассуждениях и отличать тождественное неравенство (противоречие) (А ~ В) = F, или (А Ф В).

Два разных синтаксически утверждения с одинаковым значением:

«Петров ЛИБО Семенов в школе» = «ЛИБО Петров в школе, ЛИБО Семенов в школе» = (С = П).

«Петров ИЛИ Семенов в школе, НО НЕ вместе» = -н (С = П).

6. Импликация в классической логике рассуждений (ЕСЛИ А, ТО В, -^). Способ формальной записи условных предложений (операторов алгоритмических языков) связкой импликация:

Здесь А — посылка, а В — следствие. Однако в этом утверждении предполагается только истинное значение посылки А и не определен смысл предложения при ложной посылке. Кажется, если принять посылку ложной, то и вывод ложный, но это не так. По таблице истинности можно определить смысл связки несколькими эквивалентными формулами:

Сравним следующие высказывания:

«Если у живого существа крылья, то это птица» (А —" В);

«Если это животное не птица, то у него нет крыльев» ((-iВ) —> (-iA));

«Крылья есть только у птицы» (А ~ В).

Может показаться, что высказывания одинаковые по смыслу. Однако по таблице истинности импликации допускается, что «птицы могут не иметь крылья», так же как «не птицы могут не иметь крылья».

Парадоксы импликации (от греч. ларабо^о — неожиданный, странный и лат. implicatio — сплетение, переплетение) возможны в условных утверждениях классической логики. Утверждение «Если Л, то В» ложно только в том случае, если А истинно, а В ложно, и истинно во всех остальных случаях. Содержание утверждений А и В при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом по смыслу, составленное из них условное утверждение может быть истинным.

Если В истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности Л, т. е. истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения.

Пример: утверждение «Если дважды два равно пяти, то снег белый» является истинным.

Формула (Р —" Q) = «если Р, то Q, иначе любое» в математических рассуждениях также читается как.

Если одновременно выполняются необходимость и достаточность Р для Q, то утверждения Р и Q эквивалентны:

Импликация используется во всех рассуждениях, где требуется сделать заключение (дедукцию):

Противоречивость при использовании ипликации в рассуждениях устраняется интуитивно предположением, что условие всегда истинно. Однако в формуле это неочевидно и может быть учтено записью импликации в инверсной форме двойственным высказыванием «Опровержение, что если Л, то В» (-1Ф = —? (Л —> В) = Л & —В.

Все рассматриваемые связки по таблицам истинности определяются как выполнимые функции. Здесь также возможны ошибки при выборе связки по вербальной записи.

По существу, в рассуждениях имеем в виду как бы конъюнкцию, хотя формально записываем это знаком импликации. Тут полезно иметь в виду множественную интерпретацию, где обязательная истинность может очевидно совпадать с эквивалентностью.

В неклассической логике может предполагаться троичное значение истинности: (true, false, undefition) или (1, 0, х). Тогда импликацию можно представить следующей таблицей истинности:

Соответствующие высказывания в трехзначной логике:

если В неопределенно и А истинно, то Ф неопределенно;

если А и В истинны, то Ф истинно;

если А ложно и В неопределенно, то Ф истинно.

Таким образом можно сформулировать рассуждение, в котором имеет смысл трехзначная логика. В приложениях неклассической логики будут представлены соответсвующие примеры.

Определение. Формула считается правильно построенной (well foiined fonnula — WFF), если содержит только рассмотренные связки.

Формальная запись рассуждения в WFF классической логики позволяет устранить неопределенности, свойственные естественному языку. При этом сохраняются независимость и различимость простых утверждений в составном высказывании.

WFFявляются формальным языком логики и могут быть использованы для анализа правильности рассуждений и формального преобразования рассуждений. При возвращении к содержательной форме в исходном контексте сохраняется истинный смысл исходного утверждения.