Меры изменчивости. 
Математическая обработка информации

В качестве наиболее часто используемых мер изменчивости следует назвать размах, дисперсию, стандартное отклонение.

Размах — это разница между максимальным и минимальным значениями:

Для определения размаха выборку необходимо сначала упорядочить. Например, в массиве данных {8, 9, 11, 12, 12, 13, 14, 17, 19, 19, 20, 20} размах будет равен разности между наибольшим и наименьшим значениями, т. е.

Дисперсия — это мера разброса данных относительно среднего значения:

Стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии:

По ряду причин этот показатель является более удобным, чем дисперсия.

Первичное описание исходных данных

Метрические данные можно представить в виде ряда значений, называемого статистической совокупностью (массивом). Каждый член этой совокупности, в свою очередь, называется вариантой. Массив заключается в фигурные скобки. Если среди вариант есть десятичные дроби, то варианты должны разделяться между собой точкой с запятой. Если все варианты — целые числа, их можно разделять запятыми. Массивы бывают упорядоченные и неупорядоченные.

Также для первичного описания исходных данных используются таблицы, вариационные ряды и графики.

Результаты исследования репрезентативной выборки можно подвергать анализу с использованием математических методов. Для этого необходимо специальное оформление (представление) результатов опыта. Наиболее востребованным и часто применяемым является метод представления результатов опыта в виде вариационного ряда.

Вариационный ряд — это таблица, отображающая зависимость между видами исходов проводимого опыта и количествами тех или иных исходов.

Рассмотрим следующий эксперимент. Тридцати студентам был задан следующий вопрос: «Какое чувство наиболее ярко проявляется (ощущается) вами в момент сдачи важного экзамена?» В результате вопроса были получены такие варианты ответов: страх, подавленность, волнение, растерянность, ничего не чувствую, эмоциональное возбуждение. То есть в данном эксперименте опытом является опрос. Разновидности исхода опыта — это различные ответы испытуемых. Чтобы составить вариационный ряд, необходимо знать, сколько человек дали тот или иной ответ. Если страх испытывают 5 человек, подавленность — 2, волнение — 14, растерянность — 4, ничего не чувствуют — 2, а эмоциональное возбуждение ощущают 3 человека, то искомая таблица будет выглядеть следующим образом (табл. 7.7).

Таблица 7.7

Пример вариационного ряда

Построенная таблица отражает результаты проделанного опыта. При этом для математической обработки результата, как правило, необходимо представить исходы опыта в числовом виде. Например, испытываемые чувства можно пронумеровать и в таблице вместо их словесной формулировки записать соответствующие номера.

В некоторых исследованиях исходы опыта выражаются числами, а значит, искусственное числовое представление вариантов не требуется.

В классе провели тестирование по определению уровня доверия учащихся друг к другу. Уровень доверия определяется по 10-баллыюй шкале. Результатом исследования стали следующие данные: уровень доверия, равный 1, определился у 1 человека, равный 2 — у 3, равный 4 — у 6, равный 6 — у 9, равный 8 — у 4, равный 10 — у 2 человек.

Запишем полученные результаты в виде вариационного ряда, где имеют место следующие варианты: 1, 2, 4, 6, 8 и 10 баллов. Получим следующую таблицу (табл. 7.8).

Таблица 7.8

Пример вариационного ряда с числовыми вариантами

Для удобства при использовании математических методов исследования элементы множества значений выборки (варианты исхода опыта) обозначают через х_х. В рассматриваемом примере их можно обозначить: — 1, х₂ = 2, х₃ = 4, х₄ = 6, х₅ = 8, х₆ = 10. Количества испытуемых, соответствующих тому или иному варианту, называют частотами

данных вариантов. Обычно частоты обозначаются через щ. Например, для варианта х₃ = 4 частота и₃ равна 6. При этом общее количество испытуемых, принявших участие в исследовании, называется объемом выборки, который находится как сумма всех частот и обозначается буквой п. В данном случае гг=1+3 + 6 + 9 + 4 + 2 = 25.

Для того чтобы показать, какую долю от всего объема выборки представляет тот или иной вариант, используется понятие относительной частоты.

Относительные частоты обозначаются через f_{ и определяются как отношение соответствующей частоты щ к объему выборки п_у т. е. = щ/п.

Таблица, отображающая зависимость между вариантами Xj и относительными частотами / называется статистическим рядом.

Важно заметить, что в вариационном и статистическом рядах варианты принято располагать в порядке возрастания. Сумма относительных частот статистического ряда всегда равна единице:

где k — количество различных вариантов.

Составим статистический ряд для рассмотренного опыта с изучением уровня доверия школьников друг к другу.

Для решения поставленной задачи достаточно разделить соответствующие значения частот на объем выборки п = 25. Например,/! = njn = 1/25 = 0,04; /₂ = п₂/п = 3/25 = 0,12 и т. д. В результате получим следующий статистический ряд (табл. 7.9).

Таблица 7.9

Пример статистического ряда с числовыми вариантами.

Убедимся, что? / = 0,04 + 0,12 + 0,24 + 0,36 + 0,16 + 0,08 = 1.

/=1.

Иногда для лучшей иллюстрации результатов исследования используют полигон частот.

Под полигоном частот выборки понимают ломаную линию с вершинами в точках (x_iy rrij). Используют также полигон относительных частот выборки, для которого вершины ломаной имеют координаты (x_z, /,).

Построим полигон относительных частот для изучения уровня тревожности (по 100-баллыюй шкале) по следующим результатам (табл. 7.10).

Таблица 7.10

Вариационный ряд для изучения уровня тревожности.

Найдем сначала объем выборки: тг = 2 + 3 + 5 + 10 + 10 + + 7 + 5 + 5 + 2+1= 50. Далее построим статистический ряд (табл. 7.11). Для этого найдем относительные частоты.

Ji ^{= п}х/^п-

Таблица 7.11

Статистический ряд для изучения уровня тревожности.

Теперь можно построить полигон относительных частот (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Полигон частот уровня тревожности.

Помимо полигона частот для иллюстрации результатов опыта используются также столбчатые (рис. 7.2) и круговые диаграммы.

Столбчатая диаграмма строится аналогично полигону частот. Отличие заключается в том, что вместо отрезков изображаются прямоугольники соответствующей высоты.

Рис. 7.2. Столбчатая диаграмма уровня тревожности На круговой диаграмме вариант отображается в виде сектора, градусная мера угла которого равна 360° /,. Рассчитаем градусные меры секторов, соответствующих тем или иным частотам (табл. 7.12).

Таблица 7.12

Статистический ряд и градусные меры секторов.

Таким образом, круговая диаграмма будет иметь следующий вид (рис. 7.3).

Помимо диаграмм для наглядного представления результатов, а также для установления аналога с классическим законом распределения используется гистограмма, для чего вводится понятие плотности относительной частоты.

Рис. 73. Круговая диаграмма частот уровня тревожности.

Плотность относительной частоты равна отношению суммы частот соответствующего интервала к произведению общего объема выборки п и длины /г, соответствующего интервала. То есть плотность относительной частоты вычисляется следующим образом: щ/(п • /?,).

Пусть результаты теста записаны в таблице (табл. 7.13).

Таблица 7.13

Таблица плотностей относительных частот.

Построим гистограмму результатов тестирования, для чего потребуется нахождение плотности относительной частоты. Она рассчитывается следующим образом. Сначала необходимо узнать объем всей выборки (п), т. е. количество участников тестирования:

Для каждого интервала находим его длину /г.*:

Для построения гистограммы выборки воспользуемся прямоугольной декартовой системой координат. По оси абсцисс отметим имеющиеся интервалы: от 0 до 3, от 3 до 4, от 4 до 5 и от 5 до 6. Сопоставим каждой абсциссе из выбранного интервала ординату, равную соответствующей плотности относительной частоты (рис. 7.4). В качестве графика получим отрезки, параллельные оси абсцисс. Для наглядности эти отрезки можно достроить до закрашенных прямоугольников. При этом площадь каждого полученного прямоугольника будет численно равна соответствующей относительной частоте. Поэтому вся площадь закрашенной фигуры будет равна единице. Таким образом мы получим графическое отображение относительных частот выборки (см. рис. 7.4).

Рис. 7.4. Гистограмма уровня тревожности.

При построении гистограммы мы опирались на данные, записанные в таблице с помощью интервального метода. Если выборка имеет сравнительно большой объем или содержит большое количество различных вариантов, то могут возникнуть трудности вычислительного характера. Для решения этой проблемы и применяется метод интервалов.

Суть метода интервалов заключается в разбиении множества значений измеряемой величины на интервалы. Тогда выборка записывается следующим образом (табл. 7.14).

Таблица 7.14

Таблица разбиения на интервалы.

Такая запись означает, что выборка содержит п_Л таких значений величины x_v что а <�х_}< b, п₂ таких значений величины x_j} что b < Xj < с. Выборку можно представить в виде любого количества интервалов.

Подытоживая сказанное, заметим, что для организации педагогических исследований с помощью математических методов изначально полученную в результате опыта информацию необходимо представить в виде вариационного или статистического ряда. Для наглядности вариационный и статистический ряды изображаются при помощи диаграмм, полигонов частот или гистограмм.

Зная, как можно представить результаты эксперимента для их математической обработки, целесообразно перейти непосредственно к рассмотрению математических методов.