Упражнения с пояснениями

Упражнение 10.1. С использованием статистического пакета Stata по данным базы clothing о продажах одежды в 400 голландских магазинах мужской одежды выполним следующее.

1. Оценим коэффициенты уравнения регрессии.

sales = Р₀ + fi_{hoursi0 + р ₂size + г.

• 2. Проведем тесты Уайта, Бройша — Нагана, Голдфслда — Квандта, Глейзера на выявление гетероскедастичности ошибок.
• 3. Если гетероскедастичность будет выявлена, то проведем коррекцию.

Решение. 1. Открыв файл clothing. csv в статистическом пакете Stata, оценим необходимую регрессию с помощью команды.

reg sales hoursw size Получим.

2. Для проведения теста Уайта после оценки регрессии необходимо набрать в командном окне.

I estat imtest, white.

Получим.

White’s test for Ho: homoskedasticity.

against Ha: unrestricted heteroskedasticity.

chi2(5) = 34.99.

Prob > chi2 = 0.0000.

Cameron & Trivedi’s decomposition of IM-test.

Поскольку p-value тестовой статистики равно 0,0000, то гипотеза о гомоскедастичности ошибок отвергается.

Для проведения теста Бройша — Пагана необходимо набрать в командном окне || estat hettest, rhs mtest.

Получим.

Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance.

# unadjusted p-values.

Поскольку и для этого тестер-value равно 0,0000, то гипотеза о гомоскедастичности ошибок отвергается. Причем согласно выданной таблице следует тестировать зависимость дисперсии ошибок от переменной hoursw. Для проведения теста Глейзера сохраним остатки регрессии с помощью команды predict res, resid Создадим новые переменные е, у/hoursw,.

hoursw

с помощью команд.

gen modres = abs (res).

gen sqrthoursw = sqrt (hoursw).

gen invhoursw =1/hoursw.

Последовательно оценим коэффициенты трех регрессий | е | = а + fihoursw + г, | е = а + $ у/hoursw + е, | е | = а + -—-— + г.

hoursw

с помощью команд.

reg modres hoursw гeg modres sqrthoursw reg modres invhoursw.

Соответственно получим: для первой —.

Поскольку коэффициент р в первой регрессии значим, то гипотеза о гомоскедастичности ошибок отвергается.

Для проведения теста Голдфслда — Квандта упорядочим наблюдения, но переменной hoursw с помощью команды.

11 sort hoursw

Для того чтобы оценить параметры уравнения регрессии по первой и последней трети (приблизительно) наблюдений, наберем в командном окне.

|| reg sales hoursw size in 1/133

Используя RSS в последних двух оцененных регрессиях, рассчитаем (вручную) тестовую статистику по формуле.

Критическое значение F-статистики можно найти с помощью команды display invFtail (130, 130, 0.05)

Получим 1,3 358 722. Поскольку значение тестовой статистики превышает критическое (при 5%-ном уровне значимости), то гипотеза о гомоскедастичности ошибок отвергается.

3. Применим два способа для решения проблемы гетероскедастичности. Первым способом является преобразование исходных переменных. Для этого создадим новые переменные.

gen sales_new = sales/hoursw gen cons_new =l/hoursw gen size_new = size/hoursw.

с помощью команд Оценим коэффициенты новой регрессии.

reg sales_new cons_new size_new Получим.

Нужно быть внимательным при интерпретации оценок коэффициентов новой регрессии! Оценки коэффициентов^ = 3814,137, у, = 55,59,у₂ = -26,63 будут эффективными оценками коэффициентов р₀, р, р₂ регрессии sales = р₀ + рJioursw + + р ₂size + е.

Вторым способом решения проблемы гетероскедастичности ошибок является использование оценок Уайта для дисперсий коэффициентов. Их можно рассчитать с помощью команды.

|| reg sales hoursw size, robust.

Получим.

Linear regression.

Robust.

Отметим, что хотя качественная картина при коррекции гетероскедастичности не изменилась (при увеличении размера магазина продажи в расчете на квадратный метр уменьшаются, при увеличении общего числа отработанных работниками часов — увеличиваются), оценки стандартных отклонений при использовании двух описанных выше методов корректировки изменились.

Упражнение 10.2. Используя данные базы flats, с помощью статистического пакета R оценим модель Inprice_metr_l = р_о + р, *1пlivesp_i + Р₂• Inkitsp_{ + Р₃— Indist_f + + Р₄ * In metrdist_i + e_it i = 1,…, n, где n — количество наблюдений, Inprice_metr — логарифм стоимости квадратного метра квартиры (описание остальных переменных приведено в приложении 1). Проведем тестирование гетероскедастичности ошибок для этой модели с помощью тестов Голдфелда — Кванта, Уайта и Бройша — Пагана.

Решение. Импортируем файл с данными flats. csv, как это делалось в предыдущих главах. Загрузим сразу пакеты Imtest и sandwich:

|| install. packages (с («Imtest», «sandwich»)) reg <- lra (ln_price_metr ~ 1 + ln_livesp + ln_kitsp + ln_dist + lnjnetrdist, data = data_flats).

Проведем тест Голдфелда — Квандта с помощью следующей команды:

I gqtest (reg, point = 0.5).

Получим

Goldfeld-Quandt test data: reg.

GQ = 1.753, dfl = 246, df2 = 245, p-value = 6.392e-06.

Тест Голдфелда — Квандта реализован в пакете Imtest в форме, немного отличной от той, которая рассказана в тексте главы. В данной версии теста сравниваются лишь две части выборки, а не три. Заинтересованный читатель может сам запрограммировать тест необходимым образом. Исходя из результатов теста гетероскедастичность в модели присутствует.

Теперь проведем тест Уайта. Поскольку данный тест отсутствует в пакетах, то запрограммируем его сами.

Сначала сохраним квадрат остатков оригинальной регрессии:

|| u_sq ^<_ reg$residuals~2.

Теперь оценим регрессию квадратов остатков на оригинальные переменные, их квадраты и их cross-terms (попарные произведения) и сохраним R² из этой модели:

R_sq <- summary (lm (u_sq ~ 1 + ln_livesp + ln_kitsp + ln_dist + lnjnetrdist + ln_livesp_sq + ln_kitsp_sq + ln_dist_sq + ln_metrdist_sq + ln_livesp * ln_kitsp + ln_livesp * ln_dist + ln_livesp * lnjnetrdist + ln_kitsp * ln_dist + ln_kitsp * lnjnetrdist + ln_dist * lnjnetrdist, data = data_flats))$r.squared.

Теперь рассчитаем p-value для этого теста с помощью следующих команд:

LM <- dim (data)[1]*R_sq p_value <- 1 — pchisq (LM, 14) p_value.

Получим

[1] 5.55 1115e-16.

Исходя из полученных результатов, можно заключить, что нулевая гипотеза

0 гомоскедастичности ошибок отвергается.

Проведем тест Бройша — Пагана, предположив, что остатки зависят от оригинальных регрессоров, с помощью команды

1 bptest (reg).

Получим

studentized Breusch-Pagan test data: reg.

BP = 69.195, df = 4, p-value = 3.357e-14.

Опять получилось, что в модели присутствует гетероскедастичность. Поскольку все три теста дали однозначный результат, что гетероскедастичность есть, то необходимо провести коррекцию. Для этого используем оценки стандартных отклонений в форме Уайта. Команда vcovHC из пакета sandwich позволяет оце-

нить робастную ковариационную матрицу (по умолчанию используется вариант НСЗ), а команда coeftest из пакета Imtest позволяет оценить значимость коэффициентов, используя робастную ковариационную матрицу.

Применив эти команды:

|| coeftest (reg, vcov = vcovHC (reg)).

получаем.

t test of coefficients:

Теперь сопоставим полученные результаты с результатами оценки оригинальной регрессии с помощью команды.

|| summary (reg).

Получим.

Call:

lm (formula = ln_price_metr — 1 + ln_livesp + ln_kitsp + ln_dist + ln_metrdist, data = data).

Residuals:

Min IQ Median 3Q Max.

— 0.65 287 -0.8 929 0.854 0.9 527 0.60 461.

Coefficients :

Estimate Std. Error t value Pr (>ItI).

(Intercept) 13.51 348 ln_livesp -0.21 138 ln_kitsp 0.1 388 ln_dist -0.25 879 ln_metrdist -0.8 293.

* * * ***.

***.

***.

0.17 326 77.996 < 2e-16 0.5 282 -4.002 7.25e-05 0.2 955 0.470 0.639 0.2 304 -11.230 < 2e-16 0.1 367 -6.068 2.58e-09.

Signif. codes:

• 0 '***' 0.001 '**' 0.01 0.05 0.1
• 1

Residual standard error: 0.1761 on 496 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.2638, Adjusted R-squared: 0.2579 F-statistic: 44.43 on 4 and 496 DF, p-value: < 2.2e-16.

Можно заметить, что для двух моделей существует разница в оценках стандартных отклонений коэффициентов (хотя и в этом случае качественная картина не меняется, но так бывает не всегда).