Нагрев или охлаждение сплошного однородного шара

Начальная температура шара равна То = const. В момент времени t = 0 шар помещается в среду (жидкость или газ) с постоянной температурой Т_с. Теплообмен между этой средой и твердой поверхностью шара происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена а (граничное условие третьего рода). Требуется найти распределение температуры в шаре в любой момент времени T (r, t).

Для обобщения приведенной ниже формулы на возможно большее число конкретных задач будем использовать следующие обозначения: число Фурье (безразмерное время) Fo = at/R~, критерий Био Bi = aR/X, где Я, а — коэффициенты теплои температуропроводности вещества цилиндра соответственно, t — обычное время (в секундах), R — радиус шара.

Точное решение этой задачи выражается с помощью бесконечных рядов и мало пригодно для практических расчетов. Для инженерных расчетов можно рекомендовать следующую приближенную формулу [10]:

где вспомогательный параметр D вычисляется по формуле:

Формула (3.50) пригодна как для нагрева, так и для охлаждения шара. Точность этой формулы зависит от критерия Био и числа Фурье: при увеличении критерия Био и уменьшении числа Фурье погрешность возрастает, но не превышает 6%. При Bi < 5 и Fo > 0.1 погрешность составляет менее 3%.