Нагрев или охлаждение неограниченного сплошного цилиндра

Под неограниченным понимают цилиндр, высота которого много больше его диаметра. Начальная температура цилиндра равна То = const. В момент времени t = 0 цилиндр помещается в среду (жидкость или газ) с постоянной температурой Т_с. Теплообмен между этой средой и твердой поверхностью цилиндра происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена а (граничное условие третьего рода). Требуется найти распределение температуры в цилиндре в любой момент времени T (r, t). Будем считать, что изменение температуры в цилиндре происходит только по радиусу (по координате г). Изменением температуры по оси z пренебрегаем, а зависимость от угла отсутствует вследствие симметрии задачи относительно оси цилиндра. Другими словами, считаем, что изотермы представляют собой коаксиальные цилиндрические поверхности.

Для обобщения приведенной ниже формулы на возможно большее число конкретных задач будем использовать следующие обозначения: число Фурье (безразмерное время).

Fo = at/R², критерий Био Bi = a? RIX, где X, a — коэффициенты теплои температуропроводности вещества цилиндра соответственно, t — обычное время (в секундах), R — радиус цилиндра.

Точное решение этой задачи выражается с помощью бесконечных рядов и мало пригодно для практических расчетов. Для инженерных расчетов можно рекомендовать следующую приближенную формулу [10]:

где вспомогательный параметр D вычисляется по формуле: _D_ 6(Bi + 4)-Bi ~ Bi²+6Bi + 2'

Формула (3.47) пригодна как для нагрева, так и для охлаждения цилиндра. Точность этой формулы зависит от критерия Био и числа Фурье: при увеличении критерия Био и уменьшении числа Фурье погрешность возрастает, но не превышает 4%. При Bi < 5 и Fo > 0.1 погрешность составляет менее 2%.