Критерий вырождения. 
Статистическая физика и термодинамика

Итак, теперь в нашем распоряжении имеются три статистических распределения частиц идеального газа по квантовым состояниям:

_ H-g*;

1) распределение Больцмана т =е ⁰ ;

И-е".

• — С ®
• 2) распределение Ферми-Дирака т =-;
• 1 + <�Г^

и-g*.

• — Q в
• 3) распределение Бозе-Эйнштейна пь =-.
• 1-еГ®" «

Нетрудно видеть, что при n_k — «1 все три статистики совпадают, переходя в распределение Больцмана. Выясним когда выполняется это неравенство. Очевидно, что оно эквивалентно неравенству с^{, м}'° • «1. Так как величина сГ^е*^^е всегда меньше единицы, то должно быть ⁰ «1. Из условия нормировки имеем равенство ^n_k = N. Подставляя сюда п_к из распределе;

к

ния Больцмана, получим, что.

Вновь воспользуемся тем обстоятельством, что число состояний в макросистеме огромно и ее энергетический спектр можно считать квазинепрерывным. Поэтому сумму в последнем выражении можно заменить интегралом, в результате чего приходим к хорошо знакомым соотношениям:

Тогда условие нормировки принимает вид.

Следовательно условием применимости распределения Больцмана будет соотношение.

Таким образом, статистика Больцмана тем менее применима, чем выше плотность газа, ниже температура и меньше масса молекул газа. Характерно, что как бы ни была мала плотность газа, при достаточно низкой температуре статистика Больцмана перестает быть применимой. Газы, для которых может быть использовано распределение Больцмана называют невырожденными. Соотношение (6.9) и определяет критерий вырождения. До тех пор, пока газ остается невырожденным, можно пользоваться распределением Больцмана и всеми законами, полученными на его основе. Лишь для вырожденных газов необходимо использовать квантовые статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Фактически для атомарных и молекулярных газов температура, при которой наступает вырождение очень мала — порядка нескольких кельвинов, так что лежит ниже тех значений, при которых необходимо учитывать отклонение свойств газов от идеальных. Если же масса частиц, из которых состоит газ, мала, то вырождение может наступать и при высоких температурах. Так, для газа, состоящего из электронов, вырождение наступает уже при температурах порядка 10' К (при обычных концентрациях электронов в твердых телах).