Условия устойчивого состояния

рассеяния света в веществе, находящемся в критическом состоя нии. Действительно, в критической точке.

и, следовательно,.

Поэтому, при приближении состояния вещества к критическому, флуктуации плотности в нем резко возрастают, соответственно возрастает и рассеяние света в нем — вещество из прозрачного становится мутным.

Броуновское движение

Броуновское движение открыто Р. Броуном в 1827 году и заключается в хаотическом движении микроскопических частиц (й?~1(Г⁶ м), взвешенных в жидкости или газе. Интенсивность броуновского движения не зависит от времени, но возрастает с ростом температуры Т среды, с уменьшением её вязкости р и размеров частиц, независимо от природы последних. Полная теория броуновского движения была дана Эйнштейном и Смолуховским в 1905;1906 г. г.

Как оказалось, причиной броуновского движения являются флуктуации плотности, то есть отсутствие полной компенсации ударов, испытываемых частицей со стороны окружающих ее молекул. Получим формулу Эйнштейна—Смолуховского, которая описывает движение броуновской частицы.

На взвешенную в жидкости или газе частицу действуют два рода сил:

а) сила трения о жидкость или газ (сила Стокса).

где r| - вязкость жидкости, а — радиус частицы, г — её радиус вектор.

Ь) сила F — равнодействующая всех сил, приложенных к частице со стороны других молекул жидкости или газа.

Тогда уравнение движения броуновской частицы имеет вид где / = 6пга.

Спроектируем уравнение движения (7.18) на ось дг декартовой системы координат:

Нас интересует только абсолютная величина смещения частицы, поэтому преобразуем выражение (7.19) так, чтобы в него входила величина дг. Для этого умножим обе его части на д:

Из очевидных соотношений находим, что.

После подстановки этих соотношений в уравнение (7.20) оно примет вид:

Усредняя выражение (7.20) по всем частицам, получим.

Так как любые направления движения частицы равновероятны, то F_xx = 0. Введём обозначение.

По теореме о равномерном распределении энергии, но степеням свободы можем записать, что.

Тогда уравнение (7.22) будет выглядеть так:

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Его решение является суммой общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному и частного решения неоднородного уравнения. Разделяя переменные в однородном уравнении, легко найти его общее решение.

где Х = f /т, С— постоянная интегрирования.

В качестве же частного решения можно выбрать постоянную величину $ = 2kT/f. Следовательно, общее решение уравнения (7.23) имеет вид.

Поскольку масса т броуновской частицы — малая величина, то X = fjm", так что по прошествии уже малого времени величина Се~^и станет много меньше 2kT/f, и р будет определяться выражением.

Отсюда находим среднеквадратичное смещение частицы вдоль оси л* за время т или.

где D = kT/6nra — коэффициент диффузии (см. задачу 4 на с. 186).

Таким образом, средний квадрат проекции смещения частицы на какую-либо ось пропорционален времени ее движения т и коэффициенту диффузии D. Соотношение (7.24) и есть искомая формула Эйнштейна-Смолуховского. Она была экспериментально подтверждена измерениями французского физика Ж. Перрена и шведского физика Т. Сведберга. Эти измерения позволили по формуле (7.24) определить постоянную Больцмана к, а следовательно, и число Авогадро N_a = R/k, так как универсальная газовая постоянная R может быть найдена из независимых измерений.

Кроме поступательного броуновского движения существует также вращательное броуновское движение — беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды. Для вращательного броуновского движения среднее квадратичное угловое смещение частицы равно

где коэффициент диффузии вращательного броуновского движения для сферической частицы определяется выражением.

Соотношение (7.25) также было подтверждено в опытах Перрена. Экспериментальное подтверждение формул Эйнштейна-Смолуховского явилось окончательной победой молекулярно-кинетической теории.