Нелинейная, непараметрическая и пошаговая регрессия

Итерационные методы поиска оценок наименьших квадратов для параметров регрессии

Если на этапе параметризации модели было установлено, что искомая функция регрессии не задается параметрическим семейством линейных функций, то линейная модель может рассматриваться в качестве первого приближения к истинной модели, или иногда искомую модель можно привести к линейной с помощью преобразования. Однако имеется большое число ситуаций, для которых линейная модель непригодна (например, когда зависимость выражается суммой экспоненциальных или тригонометрических функций), а простое преобразование переменных, приводящее к ней, отсутствует. В этом случае используется модель нелинейной регрессии.

Любая модель, вид которой не совпадает с уравнением (8.6) называется моделью нелинейной регрессии

.

где — нелинейная функция параметров, а — некоррелированные ошибки.

Для нелинейной модели (9.1) решение системы.

уже нельзя представить в явном виде. Поэтому используются итерационные методы для численного определения. В математическом обеспечении практически любой современной ЭВМ имеются многочисленные стандартные алгоритмы и программы для решения задач нелинейного программирования (9.2), причем наибольшее распространение получили итерационные алгоритмы: квазиградиентного типа; градиентного спуска; метод Ньютона и его модификации.

При вычислительной реализации метода наименьших квадратов в нелинейном (по оцениваемым параметрам) случае приходится исследовать вопросы существования и единственности. В лучшем случае описанные методы оптимизации приводят к локальному минимуму критериальной функции.

Процесс последовательного приближения останавливается, если различие в двух соседних приближениях становится пренебрежимым, т. е.

для некоторого заранее заданного малого или при стабилизации остаточной суммы квадратов.

Для поиска численного приближения оценок наименьших квадратов параметров нелинейной регрессии с помощью итерационных алгоритмов необходимо задать начальные значения параметров, а также верхние и нижние границы их значений.

Дадим краткую характеристику основных итерационных алгоритмов.

Итерационные алгоритмы позволяют на каждой следующей итерации ((s+1)-й) получать приближенные значения искомых оценок параметров, лежащие «ближе» к истинному решению соответствующей оптимизационной задачи, чем значения предыдущей итерации, т. е., где s- номер итерации; - вектор, определяющий направление движения на s-ой итерации; - длина шага.

Если движение осуществляется в направлении под острым углом к антиградиепнту оптимизируемой функции, то алгоритм относится к классу алгоритмов квазиградиентного типа.

Если движение в итерационной процедуре осуществляется непосредственно в направлении антиградинта, то процедуру относят к алгоритмам градиентного спуска. Подобные алгоритмы обеспечивают (при определенных ограничениях на минимизируемую функцию) сходимость последовательности со скоростью сходимости геометрической прогрессии (линейная сходимость). Из-за того, что реальная скорость сходимости таких алгоритмов резко снижается при приближении к предельному значению, градиентный спуск целесообразно применять лишь на начальных этапах минимизации, используя найденные в результате сравнительно небольшого числа итераций величины в качестве начальных приближений для более сложных методов обладающих большей скоростью сходимости.

В методе Ньютона значения неизвестных параметров на каждой следующей итерации находятся из условия минимума квадратичного полинома, аппроксимирующего исходную критериальную функцию в окрестности точки. При этом соответствующая процедура будет менее чувствительна к выбору начального приближения (в частности, будет менее подвержена эффекту «раскачки» при его неудачном выборе), если использовать ее вариант с регулировкой шага. При определенных условиях метод Ньютона обеспечивает квадратичную скорость сходимости последовательности к .

Используя линейную (по параметрам) аппроксимацию исследуемой функции регрессии в окрестности точки, можно прийти к модификации метода Ньютона — методу Ньютона-Гаусса. Он существенно проще в вычислительном плане, однако бывает слишком чувствительным к эффекту слабой обусловленности используемых в нем матриц.

Первостепенное значение для скорости сходимости используемых итерационных процедур решения оптимизационной задачи метода наименьших квадратов имеет удачность выбора начального приближения. Для реализации этого выбора используется ряд приемов: «поиск на сетке»; вспомогательное (линеаризующее) преобразование модели; разбиение имеющейся выборки на подвыборки; разложение регрессионной функции в ряд Тейлора. Общего правила, пригодного для всех возможных нелинейных функций, не существует. Каждый раз приходится искать свое решение. Рассмотрим некоторые способы нахождения грубых начальных приближений, которые на практике могут служить отправной точкой поиска удовлетворительных приближений в конкретной задаче.