Решение уравнений Тейлора и Маклорена

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена).

Способ неопределенных коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям, т. е. уравнениям вида.

И состоит в следующем. Если все коэффициентыэтого уравнения и свободный членразлагаются в ряды по степеням, сходящиеся в интервале, то искомое решениетакже представляется степенным рядом.

сходящимся в этом же интервале. Подставляя в уравнение функциюи ее производные, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях Из полученных при этом уравнений и заданных начальных условий находят коэффициенты Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения. Приближённо — с помощью ряда.

Типовая задача формулируется следующим образом:

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения …, удовлетворяющее начальному условию, в виде трёх (реже — 4-х, 5-х) отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Искомое частное решение раскладывается в данный ряд по известной формуле:

Идея и смысл данного действия состоит в том, что для некоторых дифференциальных уравнений и при некоторых построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению. То есть, чем больше членов ряда рассмотрено, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции. Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям.

Пример 1. Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение: в условиях данной задачи, поэтому общая формула Тейлора.

трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:

В практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд. Разбираемся со значениями. Этапы решения удобно занумеровать:

• 0) На нулевом шаге записываем значение, которое всегда известно из условия. Следует отметить, что данное значение не равно нулю! Т.к. по условию требуется найти четыре отличных от нуля членов ряда.
• 1) Вычислим. Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение получаем
• 2) Вычислим. Сначала находим вторую производную:

Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение получаем Найдено три ненулевых члена разложения, необходим ещё один:

3) Находим третью производную — это производная от второй производной:

Так получается, что в данном задании каждая следующая производная оказывается выраженной через предыдущую производную.

Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение получаем Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и проведём упрощения:

Ответ:

Условие рассматриваемого задания, как правило, не требует чертежа, но построение демонстрационного графика, может наглядно разъяснить сущность выполненных действий.

Изобразим точное частное решение и его приближение:

Рисунок 1.

Из графического рисунка 1. видно, что уже 4 члена ряда дают достаточную точность — на довольно длинном участке дуга кубической функции практически совпала с идеальным решением. При этом оба графика проходят через точку начального условия, и естественно, что вблизи неё точность будет максимальной. Очевидно, что чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем лучше соответствующий многочлен приблизит экспоненту.

Часто в решении задействованы производные более высоких порядков. Повторим материал:

четвёртая производная — это производная от третьей производной;

пятая производная — это производная от четвёртой и т. д.;

— обозначения 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой и 10-й производных соответственно.

Помимо римских цифр, в часто используется и такой вариант:

— обязательно со скобками, чтобы не путать производную с «игреком в степени».

Для успешного выполнения данной задачи необходимо уметь дифференцировать неявную функцию.

Далее нами будут широко применяться правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции.

Здесь новизна в производной (вторая строка), где в качестве внешней функции выступает степень (квадрат), а в качестве вложения — производная .

Алгоритм и технику решения рассмотрим с общего случая разложения в ряд Тейлора:

Пример 2.

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение начинается стандартно:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данной задаче, следовательно:

Теперь последовательно находим значения — до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. В случае успеха, отличны от нуля будут — это идеальный случай с минимальным количеством работы.

Проводим пункты решения:

• 0) По условию .
• 1) Вычислим. Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим. Подставим в правую часть известные значения

:

Данный результат не удовлетворяет, поскольку нас интересуют ненулевые значения.

• 2) Находим вторую производную и подставляем в правую часть известные значения:
• 3) Находим — производную от второй производной:

Подставим в правую часть известные значения.

:

Третье ненулевое значение.

Подставляем «выделенные жирным шрифтом» числа в нашу формулу:

Ответ: искомое приближенное разложение частного решения:

В рассмотренном примере присутствовал всего один ноль на втором месте, что является хорошим результатом. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Нули очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.

На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена:

Пример 3.

Представить приближенно частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию, в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.

Решение: можно сразу записать разложение Маклорена, но оформление задачи академичнее начать с общего случая:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данном случае, следовательно:

Вперёд:

• 0) По условию .
• 1) Вычислим. Первая производная готова.

Подставим значения :

2) Найдём вторую производную:

И подставим в неё.

:

3) Находим. Распишем подробно:

К производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых на последнем шаге и запись произведения в виде степени: (там же).

Подставим в найденное ранее.

:

Три ненулевых значения получены.

Подставляем «выделенные жирным шрифтом» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения:

Ответ:

Пример 4.

Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда Решение: перед нами дифференциальное уравнение второго порядка. По условию и нам необходимо воспользоваться рядом Маклорена. Запишем знакомое разложение, используя возможно больше слагаемых:

Алгоритм работает следующим образом:

• 0) — по условию.
• 1) — по условию.
• 2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной: .

И подставим: Получено первое ненулевое значение.

Находим производные и выполняем подстановки:

3).

Подставим и :

4).

Подставим :

Второе ненулевое значение.

5) -приводим подобные производные.

Подставим: :

6).

Подставим :

Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:

Ответ: