Основы динамики сооружений

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• • виды динамических нагрузок на сооружения;
• • методы решения динамических задач;
• • принципы определения степени свободы масс сооружения;
• • параметры свободных и вынужденных колебаний в системах с одной степенью свободы;
• • принципы динамического расчета сооружений с конечным числом степеней свободы масс;

уметь

• • определять частоты свободных колебаний в расчетных схемах с конечным числом степеней свободы масс;
• • определять динамические усилия в расчетных схемах с конечным числом степеней свободы масс при вибрационной нагрузке;

владеть

• навыками определения форм колебаний в расчетных схемах с конечным числом степеней свободы масс.

Общие положения

Динамика сооружений — часть строительной механики, рассматривающая вопросы расчета сооружений на динамические нагрузки.

Динамические нагрузки, в отличие от статических, изменяются по величине, направлению или положению в относительно малые промежутки времени.

Различают следующие основные виды динамических нагрузок:

• — вибрационная — нагрузка, значение которой изменяется периодически по определенному закону. Может быть как прерывистой, так и непрерывной;
• — ударная (от удара в определенном месте сооружения) — нагрузка, для которой характерно резкое изменение скорости ударяемого тела в короткий отрезок времени;

подвижная — нагрузка, положение которой на сооружении меняется с достаточно большой скоростью;

• — кратковременная (импульс) — нагрузка, характеризуемая практически мгновенным действием;
• — сейсмическая — нагрузка, возникающая в результате беспорядочного движения почвы, толчков и ударов при землетрясениях.

Вызываемые такими нагрузками перемещения и деформации самого сооружения и его элементов также будут изменяться во времени, т. е. совершать движения.

В широком смысле динамика является учением о движении твердых тел в зависимости от сил, к ним приложенных. В основе динамики лежат три основных закона, сформулированные И. Ньютоном (1686 г.).

Первый закон (закон инерции): если на материальную точку не действуют никакие силы, то она находится в покое либо совершает равномерное прямолинейное движение.

Свойство тела сохранять свое механическое состояние называют инерцией. Отсюда и название этого закона.

Второй закон (закон зависимости между силой и ускорением): сила, приложенная к материальной точке массой т, сообщает ей ускорение, имеющее направление силы и величину, пропорциональную величине силы, т. е.

Равенство (15.1) в силу его важности называют основным уравнением динамики. Из этого уравнения видно, что для сообщения одного и того же ускорения точке большей массы необходима большая сила. Следовательно, масса точки есть мера ее противодействия изменению скорости, или, иначе, мера инерции.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия): всякое действие вызывает равное и противоположно направленное противодействие.

Из статики (см. параграф 2.1) нам уже известен этот закон как аксиома 5.

Любое сооружение можно рассматривать как совокупность материальных точек, т. е. как материальную систему. Для любой материальной системы, как было показано в параграфе 8.2, всегда можно найти центр тяжести с координатами х_с, у_с, 2_С, который одновременно является и центром инерции системы материальных точек.

Можно доказать, что центр инерции материальной системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все действующие на систему силы. Это положение называется законом движения центра инерции.

Данный закон позволяет во многих случаях заменить рассмотрение движения всей материальной системы движением ее центра инерции.

На основании второго закона Ньютона (15.1) и закона движения центра инерции получают дифференциальные уравнения движения центра тяжести тела:

Итак, все точки материальной системы, каковой является расчетная схема, совершают движения, изменяющиеся во времени, т. е. характеризуются чередованием возрастания и убывания расстояний отдельных точек системы от их положения в некоторый зафиксированный момент времени при отсутствии динамических нагрузок. Такие движения в технике называют колебаниями.

Различают следующие виды колебаний:

• — свободные — это колебания системы, выведенной из начального равновесного состояния каким-либо начальным возмущением;
• — вынужденные — это колебания, вызванные внешней возмущающей силой и поддерживаемые ею в течение определенного отрезка времени.

Для получения уравнений движения масс в динамике сооружений применяются три основных метода.

Первый метод использует непосредственно дифференциальные уравнения движения (15.2), составленные для каждой массы системы. Все массы системы при этом предполагаются освобожденными от наложенных на них связей, действия которых на массы заменяются реакциями этих связей.

Второй метод называется методом кинетостатики и основан на использовании принципа Д’Аламбера.

Поясним сущность этого принципа применительно к материальной точке, для чего выражение (15.1) запишем в виде Обозначим.

Подставив (15.4) в (15.3), получим.

В выражении (15.5) F представляет собой равнодействующую всех сил. действующих на материальную точку, а силу J называют силой инерции, которая по модулю равна my{t) и направлена в сторону, противоположную ускорению y (t).

Формула (15.5) представляет собой принцип Д’Аламбера для материальной точки: при движении материальной точки в каждый момент времени действующие на нее активные силы, реакции наложенных на нее связей и силы инерции уравновешивают друг друга.

Принцип Д’Аламбера легко распространить на систему материальных точек, т. е. на материальное тело и систему материальных тел.

Таким образом, согласно принципу Д’Аламбера уравнение движения можно рассматривать как уравнение равновесия, что позволяет задачу динамики для каждого момента времени по форме решения свести к статической задаче.

Третий метод, называемый энергетическим, основан на законе сохранения механической энергии.

Примечание. В связи с ограниченностью объема данного издания для получения уравнений движения будем использовать только второй метод.

Поскольку в основе динамического расчета сооружений лежит учет инерционных сил, необходимо знать расположение масс в рассматриваемом сооружении. С этой точки зрения в динамике сооружений используются два основных типа расчетных схем: системы с распределенной массой и системы с сосредоточенными массами.

В расчетных схемах с распределенными массами наряду с геометрическими характеристиками элементов необходимо знать законы распределения масс по длинам этих элементов.

В расчетных схемах с сосредоточенными массами каждый элемент рассматривается как невесомый стержень с заданными геометрическими характеристиками и заданным точечным расположением массы.

Основным понятием динамики сооружений является степень свободы масс W_m, под которой понимают число независимых геометрических параметров, определяющих положение масс в любой момент времени.

В расчетных схемах с распределенными массами число степеней свободы масс считается бесконечным. В расчетных схемах с сосредоточенными массами необходимо определить число их степеней свободы в начале динамического расчета.

В плоских стержневых расчетных схемах, рассматриваемых в настоящей главе, при определении степени свободы сосредоточенных масс вводятся следующие допущения.

• 1. Сосредоточенная масса, как правило, считается точечной, т. е. имеет на плоскости две степени свободы, определяемые двумя линейными перемещениями; углом поворота такой массы на плоскости пренебрегают.
• 2. Как и ранее, пренебрегают продольными деформациями в изгибаемых стержнях и изменением их длины за счет искривления при изгибе.

Для невесомой балки с одной сосредоточенной массой (рис. 15.1, а) степень свободы W_m = 1, так как положение массы определяется одним перемещением у_х.

Для консольной балки с осью ломаного очертания (рис. 15.1, б) и двумя сосредоточенными массами т_х и т₂ степень свободы равна W_m = 3, так как масса т_Л имеет два линейных смещения, а масса т₂ — только одно, горизонтальное.

Рис. 15.1.

В консольной ферме (рис. 15.1, в) для одной сосредоточенной массы за счет продольных деформаций стержней фермы степень свободы W_m = 2.

Для упрощения подсчета числа степеней свободы сосредоточенных масс расчетной схемы удобно использовать следующий прием. По направлению возможных перемещений сосредоточенных масс мысленно устанавливают линейные связи, препятствующие движению этих масс. Наименьшее число линейных связей, позволяющее закрепить все сосредоточенные массы расчетной схемы, и будет определять число степеней свободы.

Так, для закрепления от возможных смещений пяти сосредоточенных масс рамы, изображенной на рис. 15.1, г, необходимо поставить четыре линейных связи. Следовательно, степень свободы масс данной расчетной схемы W_m = 4.

При выборе динамической расчетной схемы, т. е. при определении числа степеней свободы масс, необходимых для достоверного расчета, необходим анализ исходной информации о рассматриваемом сооружении.

Например, для сооружения башенного типа (рис. 15.2, а) часто достаточно представить расчетную схему в виде консольного стержня с точечной массой, сосредоточенной на его конце. Из анализа динамического поведения многоэтажного здания башенного типа с учетом того, что суммарная масса перекрытий и покрытия намного превосходит массу стен, можно использовать расчетную схему консольного стержня с сосредоточенными массами в уровне перекрытий здания (рис. 15.2, в).

Рис. 15.2.

Как правило, в большинстве инженерных расчетов действительная распределенная масса сооружения приводится к точечным.