Практические расчеты на продольный изгиб

При расчете сжатых стержней на прочность требовалось выполнение условия (5.23):

где А_п[ — площадь поперечного сечения с учетом местных ослаблений. При расчете на устойчивость необходимо выполнение условия.

где А — полная площадь поперечного сечения без учета местных ослаблений, так как они не оказывают заметного влияния на величину критических напряжений; k_t) — коэффициент запаса на устойчивость, зависящий от возможности случайного увеличения сжимающей силы и возможности ее внецентрепного приложения, от наличия начальных несовершенств в геометрии стержня и способах его закрепления и т. д., определяемый в практических расчетах как сравнение критической силы и несущей способности сечения:

Сопоставим между собой неравенства (5.23) и (16.16) и запишем отношения их правых частей:

Величина ф называется коэффициентом продольного изгиба, который определяет степень снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе. Так как коэффициент продольного изгиба ф зависит от величины критического напряжения (16.12), то очевидно, что он зависит от гибкости стержня и упругих свойств материала. Значения коэффициента ф для различных материалов (см. прил. 15) устанавливаются нормами.

Подставив (16.18) в (16.16), получим.

Практические задачи на продольный изгиб можно на основании (16.19) разделить на три основных типа.

• 1. Проверка сжатых стержней на устойчивость по формуле (16.19).
• 2. Определение несущей способности (а по ней — допускаемой нагрузки) при заданных геометрических размерах стержня и материале:

3. Определение (подбор) сечения стержня по заданной расчетной схеме, материалу и нагрузке:

Последний тип задач является наиболее сложным. Это объясняется тем, что коэффициент ср зависит от гибкости стержня, а гибкость неизвестна, так как неизвестны размеры сечения. Поэтому данную задачу решают методом последовательных попыток, задаваясь вначале значением коэффициента продольного изгиба (р, соответствующего предельному значению гибкости Х_сг

Пример 16.9

Требуется определить критическую нагрузку для шарнирно опертого стального стержня сечением 40×60 мм. Длина стержня / = 0,8 м.

Решение. 1. Расчетная длина стержня (см. схему 2 табл. 16.1) /₀ = / = 0,8 м.

• 2. Минимальный момент инерции /_min= 6 • 4³/ 12 = 32 см⁴.
• 3. Площадь сечения А = 4 • 6 = 24 см².
• 4. Минимальный радиус инерции i_min = ]l_min / А =_Л/з2/24 = 1,155 см.
• 5. Гибкость стержня к = /₀/ i_min= 80 / 1,155 = 69,3 < к_сг= 100 (см. табл. 16.2).
• 6. Значение критического напряжения (16.15) при а = 310 МПа, b = 1,14 МПа, с = = 0 (см. табл. 16.2) о_сг =310 — 1,14 • 69,3 = 231 МПа.
• 7. Величина критической силы N_cr = а_сгА = 231 • 10³ • 24 • 10~⁴ = 554,4 кН.

Пример 16.10

Требуется определить критическое напряжение в стальном стержне, один конец которого жестко защемлен, а другой шарнирно оперт. Сечение стержня — трубчатое с наружным диаметром D = 60 мм и внутренним d = 50 мм. Длина стержня / = 4 м. Модуль упругости материала Е = 2,06 • 10⁵ МПа.

Решение. 1. Расчетная длина стержня (см. схему 4 табл. 16.1) /₀ = 0,7, / = 2,8 м.

• 2. Момент инерции /= я (6⁴ — 5⁴) / 64 = 32,938 см⁴.
• 3. Площадь сечения А = л (6² — 5²) / 4 = 8,639 см².
• 4. Жесткость сечения EI = 2,06 • 10⁸ • 32,938 • 10~⁸ = 67,852 кНм².
• 5. Радиус инерции i = y]l / А = >/32,938 / 8,639 = 1,953 см.
• 6. Гибкость стержня к = /₀/ i- 280 / 1,953 = 143,37 > к_сг= 100 (см. табл. 16.2).
• 7. Критическая сила согласно формуле (16.4) N_cr = к²Е1 /1 $ = п² • 67,852 / 2,8² = = 85,42 кН.
• 8. Значение критического напряжения a_cr = F_cr / А = 85,42 • 10 ³ / 8,639 • 10 ⁴ = = 98,88 МПа.

Пример 16.11

Требуется подобрать сечения верхнего пояса (по наибольшему усилию) и раскоса второй панели фермы (рис. 16.21, а) и определить коэффициенты запаса устойчивости принятых сечений. Тип требуемых сечений показан на рис. 16.21, 6. Марка стали С255 (R_y = 240 МПа). Коэффициент условия работы у_с = 0,95. Величина узловой нагрузки F= 60 кН.

Рис. 16.21.

Согласно СНиП Н-23—81* и СП 16.13 330.2011 расчетные длины элементов плоских ферм при направлении продольного изгиба в плоскости фермы следует принимать:

• — для поясов, опорных раскосов и опорных стоек /₀ = /;
• — для элементов решетки /₀ = 0,8/.

Решение. 1. Определим усилия в требуемых стержнях фермы.

В силу симметричности схемы фермы и приложенной к ней нагрузки (рис. 16.21, в) вертикальные опорные реакции будут одинаковыми V_A = V_B = 0,5XF = 0,5 • 7 • 60 = = 210 кН.

Поскольку ферма является балочной, наибольшие усилия верхнего пояса будут в стержнях четвертой и пятой панелей фермы. Наибольшее сжимающее усилие определяем из равновесия левой отсеченной части фермы (рис. 16.21, г) по сечению I—I:

Цм_к = 210 9 — 60(6 + 3) + ЛГ, • 4 = 0; = -337,5 кН.

Усилие в раскосе второй панели определяем из равновесия левой отсеченной части фермы (рис. 16.21, д) но сечению II—II:

• 1у= 210 — 60 + ;V₂ • cosa = 0; N₂ = -150 / 0,8 = -187,5 кН.
• 2. Подберем сечение верхнего пояса. Расчетная длина панели /₀ = / = 3 м.

Первое приближение. Зададим коэффициент продольного изгиба (pj = 0,25 (при гибкости X ~ ПО >Х_СГ= 100).

Требуемая площадь одного уголка согласно формуле (16.21):

Л_{ > 6,5 • 337,5 / (0,25 • 0,95 • 240 • 103) = 29,6 • 10 * м² = 29,6 см².

По сортаменту иеравиополочных уголков (см. прил. 8) определим номер уголка, площадь которого близка к полученной. Уголок № 16/10 — 160×100×12 имеет площадь Л = 30 см², z_min = i_z = 2,82 см.

Так как поперечное сечение имеет вертикальную ось симметрии (ось у)_у минимальный радиус инерции всего сечения будет таким же, как и для одного уголка.

Гибкость принятого сечения X = 300 / 2,82 = 106,4, а коэффициент продольного изгиба, соответствующий полученной гибкости (см. прил. 15), ср = 0,501.

Проверим принятое сечение по формуле (16.19):

a = 337,5 • 10−3/(0,501 • 2 • 30 • 10 ⁴) = 112,28 МПа < R_yу_с = 228 МПа.

Как показывает полученный результат, сечение обладает вдвое большим запасом прочности, чем необходимо, т. е. площадь сечения необходимо уменьшить.

Второе приближение. Зададим коэффициент продольного изгиба Ф₂ = 0,5((р, + ф) = 0,5(0,25 + 0,501) * 0,375.

Требуемая площадь одного уголка согласно формуле (16.21).

Л₂ > 0,5 • 337,5 / (0,375 • 0,95? 240 10³) = 19,7 10^⁴ м2 =19,7 см².

По сортаменту неравнополочных уголков (см. прил. 8) примем уголок № 12,5/8 — 125 • 80 — 10(Л = 19,7 см², ^ ^ = 2,26 см).

Гибкость принятого сечения X = 300 / 2,26 = 132,7, а коэффициент продольного изгиба, соответствующий полученной гибкости (см. приложение 15), ф = 0,351. Проверим принятое сечение по формуле (16.18): а = 337,5 • Ю-з/ (0,351 • 2 • 19,7 • 10″ ⁴) = 244,04 МПа > R_yу_с = 228 МПа.

Как видно из последнего полученного результата, необходимо немного увеличить площадь сечения либо уменьшить гибкость, даже за счет уменьшения площади сечения.

Третье приближение. По сортаменту неравнополочных уголков (см. прил. 8) примем уголок № 14/9 — 140×90×8 (Л = 18 см², i_mjn = i_z = 2,58 см).

Гибкость принятого сечения X = 300 / 2,58 = 116,3, а коэффициент продольного изгиба, соответствующий полученной гибкости (см. прил. 15), ф = 0,441.

Проверим принятое сечение по формуле (16.19): а = 337,5- 10−3/(0,441 -2−18- 10 ⁴) = 212,6 МПа < R_yy_c = 228 МПа. Окончательно принимаем сечение верхнего пояса из двух неравнополочных уголков № 14/9 — 140×90×8 (Л = 18 • 2 = 36 см²), так как недонапряжение принятого сечения составляет 6,75%.

3. Подбор сечения раскоса. Расчетная длина панели /₀ = 0,8, / = 0,8 *5 = 4 м. Первое приближение. Зададим коэффициент продольного изгиба ф₁ = 0,25 (при гибкости X ~ 170 > A,_rr=100).

Требуемая площадь одного уголка согласно формуле (16.21).

Л, > 0,5 • 187,5 / (0,25 • 0,95 • 240 • 10³) = 16,45 • 10~⁴ м² =16,45 см².

По сортаменту равнополочных уголков (см. прил. 9) примем уголок № 10 —.

100 х ЮО х 8 (Л = 15,6 см², i₂ = 3,07 см).

Гибкость принятого сечения X = 400 / 3,07 = 130,3, а коэффициент продольного изгиба, соответствующий полученной гибкости (см. прил. 15), ф = 0,362.

Проверим принятое сечение по формуле (16.19): а = 187,5 • 10−3/(0,362 • 2 • 15,6 • 10″⁴) = 166 МПа < R_yу_с = 228 МПа.

Как показывает полученный результат, сечение обладает почти полуторным запасом прочности, т. е. площадь сечения необходимо уменьшить.

Второе приближение. Зададим коэффициент продольного изгиба Ф₂ = 0,5(ф, + ф) = 0,5(0,25 + 0,362) = 0,306.

Требуемая площадь одного уголка согласно формуле (16.21).

Л₂ > 0,5 • 187,5 / (0,306 • 0,95 • 240 Ю³) = 13,44 • 10″ ⁴ м²= 13,44 см².

По сортаменту равнополочпых уголков (см. прил. 9) принимаем уголок № 9 — 90×90×8 (Л = 13,9 см², i_z = 2,76 см).

Гибкость принятого сечения X = 400 / 2,76 = 144,9, а коэффициент продольного изгиба, соответствующий полученной гибкости (см. прил. 15), ф = 0,296.

Проверим принятое сечение по формуле (16.19): а = 187,5 • Ю-з/ (0,296 • 2 • 13,9 • 10″ ⁴) = 227,86 МПа * R_yy_r = 228 МПа. Окончательно принимаем сечение раскоса из двух равнополочпых уголков № 9 — 90×90×8 (Л = 13,9 • 2 = 27,8 см²).

• 4. Определим несущую способность стержней по формуле (16.20):
  • — верхнего пояса (Л = 36 см², ф = 0,441)

[iV, | = 0,441 • 36 • 10″ ⁴ • 0,95 • 240 • 10³ = 361,97 кН > АТ, = 337,5 кН;

— раскоса (А = 27,8 см^[1][2], ср = 0,296).

[N₂] = 0,296 • 27,8 • 10-^[3] • 0,95 • 240 • 10³ = 187,62 кН > N₂ = 187,5 кН.

• 5. Критические силы стержней с принятыми размерами сечений (см. формулу (16.4)):
  • — для верхнего пояса (1₂= 2 • 120 = 240 см*; EL = 2,06 • 10⁸? 240 • НИ = 494,4 кН-м^[2]) N™ = к^[2] • 494,4 / З^[6] = 542,17 кН;
  • — для раскоса (7_г = 2 106 = 212 см¹; Е1_г = 2,06 • 10⁸ • 212? 10~⁸ = 436,72 кНм^[2]) N™ =я^[2] -436,72/4^[2] = 269,39 кН.
• 6. Коэффициенты запаса устойчивости по формуле (16.17):
  • — для верхнего пояса k_ly = ^Nc? / М ] = 542,17 / 337,5 = 1,31;
  • — для раскоса k_2y = Л^,²⁾ /[iV₂] = 269,39/187,5 = 1,44.

Пример 16.12.

Требуется для рамы, рассмотренной в примере 16.4 (см. рис. 16.10, а), подобрать сечение сжатой стойки при F = 180 кН, / = 4 м. Материал стойки — сосна (R_c = = 14 МПа). Сечение стойки принять прямоугольным с соотношением сторон h/b = = 1,5. Продольный изгиб стойки возможен параллельно большей стороне сечения. Коэффициент условия работы у_с= 1.

Решение. 1. Расчетная длина стойки (см. п. 7 примера 16.4).

/₀ = 0,791/ =0,791 • 4 = 3,16 м.

• 2. Зададим коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) при гибкости X = 70 > Х_сг= 61 (см. табл. 16.2): <�р, = 1 — 0,8 (70 / 100)2 ₌ 0,608.
• 3. Требуемая площадь сечения согласно формуле (16.21)

При А = b h= 1,5ft^[2] требуемая ширина сечения стойки > 7А /1,5 = 7211,5/1,3 = 11,87 см.

Принимаем ft = 12 см, h = 1,5ft = 18 см.

4. Геометрические характеристики принятого сечения:

Л = ft • ft = 12 18 = 216 см²; l_z = ftft³ / 12 = 12- 18^[6] / 12 = 5832 см*; i₂ = 7IJ А = 75 832/216 = 5,2 см.

• 5. Гибкость стержня X = /₀ / i_z = 316 / 5,2 = 60,77 < Х_сг= 61, а соответствующий ей коэффициент продольного изгиба (р = 1 — 0,8 (60,77 / 100)^[2] = 0,608.
• 6. Проверим условия устойчивости стойки по формуле (16.19): а = 180- 10-^[6]/(0,608−216- 10 *) = 13,71 МПа ~ R_yy_c = 14 МПа.

Условие выполняется.

Условие выполняется.

4. Несущая способность сечения по формуле (16.20):

[N = 6,914 • 93 • 10 N= 1860 кН.

5. Так как X = 34,6 < /_Vr = 100, определим критическое напряжение по формуле Ясинского (16.3) при а = 310 МПа, b = 1,14 МПа, с = 0 (см. табл. 16.2):

<�з_сг — 310 — 1,14 • 34,6 = 270,56 МПа.

6. Критическая сила.

N_cr = a_crA = 270,56 • 10³ • 93 • 1<�Н = 2516,2 кН.

7. Коэффициент запаса устойчивости по формуле (16.17): k_y = N_cr /[N] = 2516,2 / 1938 = 1,3.

• [1] Пример 16.13 Требуется для рамы, рассмотренной в примере 16.5 (см. рис. 16.11, я), рассчитатьпрочность сжатой стойки, работающей в условиях плоского изгиба, и определитькоэффициент запаса устойчивости при F= 1860 кН, / = 4,5 м. Материал стойки — стальмарки С245 (Rt/ = 240 МПа), сечение стойки — два рядом стоящих двутавра № 30(А = 2 • 46,5 = 93 см²; 12= 2 • 7080 = 14 160 см*; i2 = 12,3 см). Продольный изгиб стойкивозможен параллельно стенкам двутавров. Коэффициент условия работы ус = 0,95. Решение. 1. Расчетная длина стойки (см. п. 7 примера 16.5) /0 = 0,946/ =0,946 -4,5 = 4,26 м.
• [2] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [3] а = 1860 • Ю-з/ (0,914 • 93 • 10″ *) = 218,82 МПа — Ryyc = 228 МПа.
• [4] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [5] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [6] Проверим условие устойчивости стойки по формуле (16.19):
• [7] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [8] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [9] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [10] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [11] Проверим условие устойчивости стойки по формуле (16.19):
• [12] Гибкость стержня и соответствующий коэффициент продольного изгиба (см. прил. 15) X = l0/i2 = 426 / 12,3 = 34,6 < Хсг = 100, ср = 0,914.
• [13] Проверим условие устойчивости стойки по формуле (16.19):