Интерпретация информации на основе использования законов логики

Наши словесные рассуждения осуществляются по законам математической логики. Хотя мы не всегда догадываемся об этом. Попробуем в этом убедиться.

В запале спора мы можем сказать: «Неправда, что мы не знаем жизни». Что же мы хотели сказать этой фразой? Разберем это подробнее, используя для анализа нашего высказывания математический язык.

Выделим высказывание, которое является ядром этой фразы (оно задает ее смысл). Это высказывание «мы знаем жизнь». Обозначим его буквой А. Тогда —А — «мы не знаем жизнь», а —1(—^4) — «неверно, что мы не знаем жизни». По закону двойного отрицания —1(—u4) Л, т. е. эта фраза означает, что мы знаем жизнь. Таким образом, закон двойного отрицания позволяет снимать два отрицания.

Этот закон можно интерпретировать гак: повторенное дважды отрицание ведет к утверждению. Например, если неверно, что Марс не является планетой Солнечной системы, то Марс является планетой этой системы.

В рассуждениях мы можем не снимать двойное отрицание, а, наоборот, его вводить, ведь равносильность двух формул, стоящих в левой и правой частях в записи закона, можно рассматривать слева направо и справа налево. Но в логике такое прочтение этого закона называется обратным законом двойного отрицания. Согласно этому закону построено следующее высказывание: «Если Петрарка писал сонеты прекрасной Лауре, то неверно, что он не писал этих сонетов».

Прямой и обратный законы двойного отрицания можно с помощью операции импликации объединить в общий закон, который называется полным законом двойного отрицания. Например, следующее высказывание иллюстрирует этот закон: «Вечный двигатель существует тогда и только тогда, когда неверно, что он не существует».

Когда мы говорим, что завтра температура воздуха будет выше или ниже 0° (по Цельсию), то наш прогноз обязательно сбудется. Ведь одна из двух исключающих друг друга возможностей обязательно осуществится. Об этом говорит закон исключенного третьего: истинно либо А, либо —А («третьего не дано»).

Идея этого закона используется в ситуации старой шуточной песенки:

Жила одна старушка,.

Вязала кружева,.

И если не скончалась —

Она еще жива.

Грамотное употребление этого закона требует, чтобы утверждения, которые используются, были действительно взаимоисключающими. Например, утверждения в высказывании «завтра будет солнечно или облачно» не являются взаимоисключающими возможностями, так как при наличии облаков на небе сквозь них может проглядывать солнце, в отличие от взаимоисключающих ситуаций — «ясно» и «облачно». Поэтому при использовании этого закона, например, в доказательстве от противного, нужно следить, чтобы утверждения, которые мы используем в дизъюнктивной конструкции, были взаимоисключающими. Только тогда дизъюнкция будет истинной. Так, если мы используем два утверждения: «две прямые в пространстве параллельны»; «две прямые в пространстве пересекаются», то их дизъюнкция не будет истинной, так как есть еще одна возможность — две прямые в пространстве скрещиваются. Поэтому, если мы докажем, что прямые не пересекаются, то это не будет означать, что они параллельны.

В романе И. С. Тургенева «Рудин» есть такой диалог:

• — Стало быть, по-вашему, убеждений нет?
• — Нет — и не существует.
• — Это ваше убеждение?
• -Да.
• — Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай.

В этом примере хорошо видно, как используется еще один логический закон, который называется законом Клавия. Его можно сформулировать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно: (—А —> А) —> А.

Еще один закон, который используется в рассуждениях, — закон Дунса Скота. Смысл его состоит в том, что ложное высказывание влечет любое высказывание: —А —> (А —> В). Примером использования этого закона может быть следующее высказывание: «Если я олигарх, то ты — Папа римский». В этой фразе предполагается, что посылка неверна, т. е. я никак не могу быть олигархом. А из того, что я не являюсь олигархом, может следовать все, что угодно, в том числе и то, что другой человек (например, мой друг) является Папой римским.

Закон Клавия назван именем Христофора Клавия — немецкого математика, ученого-иезуита, жившего в XVI в. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Началам» Евклида, где одну из своих теорем Евклид доказал из допущения, что она является ложной. Это было первым примером доказательства от противного, которое относится к доказательствам косвенного типа в математике. Кстати, Клавий был одним из создателей григорианского календаря.

Джон (Иоанн) Дунс Скот (около 1266 — 1308), гак же как и Клавий, жил в Средние века. Был философом и теологом. Преподавал богословию в Оксфорде, а затем в Парижском университете.

Если в рассуждениях мы используем два взаимоисключающих суждения, выдавая каждое из них за истинное, то мы заведомо вносим в них путаницу. Это недопустимо. Например, в ходе каких-то рассуждений мы сначала можем утверждать, что объекты неживой природы (например, камни) не могут преобразовывать информацию, а затем говорим, что камни могут преобразовывать информацию. Тогда мы нарушаем закон непротиворечия, который говорит о том, что только одно из двух взаимоисключающих высказываний может быть одновременно истинным (Л л —А = 0). Этот закон также называют законом противоречия.

Здесь нужно иметь в виду, что взаимоисключающие возможности не должны осуществляться одновременно. Так, в следующей фразе не усматривается противоречия: «В каждом человеке живет ребенок и старик». Мы ее не понимаем буквально. В ней имеется в виду, что в каждом взрослом человеке есть что-то от неугомонного и любознательного ребенка и что-то от мудрого и опытного старика.

А теперь обратимся к высказыванию «Хорошо там, где нас нет». Проведем его анализ с точки зрения логики. Это высказывание имеет форму импликации: «Если нас где-то нет, то там хорошо». Запишем это с помощью формулы А —> В, где А — «нас где-то нет», В — «там хорошо».

Проверим с использованием известным нам законов логики, равносильно ли оно высказыванию: «Плохо там, где мы есть». Оно также имеет импликативную форму: «Если мы где-то есть, то там плохо». Его можно записать в виде формулы —А —> -нВ.

Нужно сказать, что впрямую на равносильность таких двух высказываний не указывает ни один из рассмотренных нами законов. Из этого следует, что-либо эти формулы, соответствующие высказываниям, не являются равносильными, либо мы просто не рассматривали их равносильность.

Попробуем проверить это с помощью таблицы истинности:

Как очевидно из таблицы истинности, эти два высказывания не являются равносильными.

Сформулируем другое высказывание: «Если где-то плохо, то там мы есть (находимся)». Формулой оно будет представлено так: -iВ —> —i.А. Также составим таблицу истинности для проверки равносильности этого и исходного высказываний:

Как очевидно, эти два высказывания являются равносильными. Обычно в логике второе высказывание называется обратным к противоположному по отношению к исходному высказыванию.

То высказывание, которое мы построили вначале по отношению к исходному, называется противоположным, так как каждое простое высказывание мы изменили на их отрицания, но не меняли условие и заключение в импликации.

Наконец, к исходному высказыванию можно построить обратное высказывание, поменяв местами в импликации условие и заключение. Оно будет описываться формулой В —> А.

В результате анализа рассмотренных выше формул мы увидели, что исходное высказывание не равносильно обратному. Именно поэтому в математике доказывают, что обратное утверждение является истинным утверждением (т.е. теоремой), если прямое утверждение истинно (т.е. теорема). Ведь автоматически это не следует из истинности прямого утверждения. При этом обратное и противоположное утверждения равносильны. Это означает, что если одно из них истинно, то второе также будет истинным.

В логике этот вывод записывается в виде так называемого логического квадрата (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Логический квадрат.

Таким образом, то, о чем мы говорили в этом параграфе, носит название интерпретации информации. В самом широком смысле под интерпретацией понимают истолкование, объяснение, перевод на более понятный язык. В более узком смысле под интерпретацией понимают построение моделей для абстрактных систем, в том числе систем логики и математики.

Мы использовали здесь частично оба этих смысла понятия «интерпретация». С одной стороны, мы показали, какой «логический строй» имеют некоторые высказывания, которые мы употребляем в повседневной жизни, а также как с использованием законов логики их можно упростить, не меняя смысла, т. е. заменить на равносильные высказывания.

С другой стороны, мы продемонстрировали, что наши рассуждения строятся с использованием логических структур. И чтобы понять это, нужно выполнить их анализ с использованием моделей математической логики.