Техника вычисления коэффициентов канонических уравнений

В гл. 5 было показано, что для вычисления перемещений удобно пользоваться правилом Верещагина. Для этой цели от нагрузки, а также от всех единичных значений неизвестных рекомендуется построить эпюры моментов, продольных и поперечных сил. Для систем рамного типа, элементы которых в основном работают на изгиб, учитывается, как правило, только один член формулы Мора, зависящий от моментов, поэтому обычно строятся только эпюры моментов.

Основная система изображена на рис. 6.5, б. Отметим, что заранее нельзя предугадать направление действия реакций. Однако в этом нет необходимости, так как направления действия неизвестных можно принимать произвольно. В случае ошибки коррективу внесут окончательные результаты вычислений. Если Рассмотрим технику вычислений коэффициентов канонических уравнений на примере. На рис. 6.5, а показана трижды статически неопределимая рама с равномерно распределенной нагрузкой на горизонтальном элементе q = 2 кН/м.

Рис. 6.5.

Рис. 6.6.

некоторые из неизвестных окажутся отрицательными, то это означает, что их истинные направления противоположны принятым в начале расчета.

В рассматриваемой раме стойки имеют жесткость ?/, а горизонтальный стержень — 2EJ. Как увидим в последующем, абсолютное значение жесткости задавать нет необходимости, так как оно войдет во все коэффициенты уравнений и затем сократится.

Эпюра моментов в основной системе_от_иап)узки Мр и три эпюры от единичных неизвестных М, М₂> М₃ показаны на рис. 6.6. Все ординаты эпюр отложены со стороны растянутого волокна.

Пользуясь правилом Верещагина, по которому интегралы Мора находятся путем перемножения эпюр, найдем все необходимые коэффициенты канонических уравнений. Термин «перемножение эпюр» (или «сопряжение эпюр») является условным. Напомним, что по правилу Верещагина каждый из интегралов Мора подсчитывается умножением площади одной эпюры на ординату другой эпюры. Ордината второй эпюры берется в месте расположения центра тяжести площади первой эпюры.

Вначале вычислим главные перемещения от единичных неизвестных:

Вычислим побочные перемещения от единичных неизвестных:

Теперь найдем перемещения от нагрузки (площади берутся в эпюре М_р):

Дадим некоторые пояснения к проведенным вычислениям:

• 1) каждое из перемещений состоит из трех слагаемых: первое слагаемое относится к левой стойке, второе — к горизонтальному элементу, третье — к правой стойке;
• 2) значения жесткостей элементов и ординаты в местах расположения центров тяжести взяты в круглые скобки;
• 3) знаки «минус» в выражениях для 813,623 и Д_3/> приняты потому, что сопрягаемые эпюры отложены в разные стороны.

Составим теперь матрицу перемещений А и вектор перемещений от нагрузки Ар.

Подставив матрицу Л и вектор Ар в уравнение (6.6) и сократив все числа на общий множитель 3/(EJ), получим матричное уравнение Л₀Х + Аро = 0, или.

Обратная матрица ¹ будет.

Метод получения обратных матриц здесь не излагается. В изучении этого вопроса нет необходимости, так как вычислительные операции проводятся с помощью компьютера по заранее составленным программам.

Составим вектор лишних неизвестных:

Итак, Х_х = -5,92 562, Х₂ = 0,31 818, Х₃ = -0,2 479. Естественно, что такой же результат получим, решив систему уравнений.

Вычисления показали, что одно лишнее неизвестное Х₂ является положительным числом, а два других Х и Х₃ оказались отрицательными. Это свидетельствует о том, что назначенное в основной системе направление Х₂ совпало с истинным направлением, а два других неизвестных в действительности направлены в противоположную сторону.

Таким образом, при выборе основной системы можно принимать произвольное направление лишних неизвестных. В конце расчета будет выявлено их действительное направление.