Построение линий влияния

Для построения линий влияния каких-либо факторов в статически неопределимых системах прежде всего необходимо построить линии влияния лишних неизвестных. Рассмотрим принцип решения этой задачи на простом примере.

Рис. 6.25.

однажды статически неопределимой балки (рис. 6.25, а). Основная система изображена на рис. 6.25, 6, требуется построить линию влияния лишнего неизвестного Х, т. е. опорной реакции средней опоры. На рис. 6.25, в, г показаны два состояния основной системы от действия движущегося груза Р = 1 и от действия лишнего неизвестного Xj = l.

Решая каноническое уравнение 8_{Xi + Д_1Р = 0, получим Х_{ = = -А_{Р/ 5ц.

Так как груз Р= 1, то Д_1Р = поэтому.

По теореме о взаимности работ имеем Д_1Р = Д_Р1, следовательно,.

Рассмотрим равенства (6.21) и (6.22). Предположим, что требуется вычислить ординаты л. в. Х_{ в п точках. При использовании равенства (6.21) нужно рассмотреть п различных положений груза Р= 1, поставив его в основной системе последовательно в точки 1, 2,…, п, и определить п раз перемещение биточки приложения силы Х_{ = 1 (см. рис. 6.25, в).

Другой смысл имеет числитель формулы (6.22). Величина 5р представляет собой перемещение точки под грузом Р = 1, но найденное от силы Х = 1 в системе, изображенной на рис. 6.25, г. В этом случае потребуется определить перемещения п точек от одной неподвижной силы Х = 1, иначе говоря, построить линию прогибов в основной системе от лишнего неизвестного Х = 1. Все ординаты этой линии прогибов, согласно равенству (6.22), необходимо потом разделить на 8ц.

Таким образом, линия влияния лишнего неизвестного представляет собой линию прогибов в основной системе от лишнего неизвестного, равного единице, в масштабе б_п:

Под действием единичной силы балка изогнется по некоторой кривой. Из этого следует, что линия влияния лишнего неизвестного в статически неопределимой системе имеет криволинейное очертание. Линии влияния внутренних силовых факторов также будут очерчены кривыми линиями.

Для построения линии прогибов в какой-либо системе необходимо применить метод фиктивных грузов W (см. п. 5.11). Для этой цели потребуется наметить на балке ряд точек, для которых будут определяться грузы W, и последовательно приложить к ним единичные пары. Перемножив последовательно эпюры от этих пар М с эпюрой от Х = 1, получим все грузы W, затем, приложив их к фиктивной балке, построим эпюру моментов, которая и будет линией прогибов отХ = 1. Разделив все ординаты линии прогибов на 8ц, получим линию влияния лишнего неизвестного.

Эпюры моментов от единичных значений лишних неизвестных всегда очерчены прямыми линиями, поэтому целесообразно вывести общую формулу для груза W* в произвольном узле к.

Рис. 6.26.

На рис. 6.26 показаны две эпюры, очерченные прямыми линиями, от единичного неизвестного и от единичных пар, которые требуется приложить для определения груза W*.

Вычисление по эпюрам дает.

Если Sk = 5*₊₁ = S и EJk = EJk+i = EJ, то формула (6.23) примет вид.

Рассмотрим построение л. в. Х_{ для двухпролетной балки, показанной на рис. 6.27, а.

Разобьем каждый пролет на четыре равные части длиной d = ¼. Для построения л. в. Х необходимо определить перемещения семи точек, для чего требуется по формуле (6.24) вычислить семь фиктивных грузов W. Значения моментов от Х = 1 приведены на эпюре М (рис. 6.27, б).

Вычисления дают следующие результаты:

Фиктивная балка показана на рис. 6.27, в, а эпюра фиктивных моментов, которая одновременно является линией прогибов от Х = 1, — на рис. 6.27, г. Знак «минус» на линии.

Рис. 6.27.

прогибов поставлен потому, что перемещения от Х = 1 происходят вверх, а груз Р = 1 направлен вниз.

Найдем масштаб:

Разделив все ординаты линии прогибов на 6ц и сменив знак на обратный, получим линию влияния лишнего неизвестного Х (рис. 6.27, д).

Для построения линии влияния моментов воспользуемся формулой (6.11), но которой для статически неопределимой системы момент в какой-либо точке k определяется равенством.

Из этой формулы очевидно, что для построения линии влияния момента в точке k необходимо построить линию влияния в статически определимой основной системе Ml и при;

Рис. 6.28.

бавить к ней исправленную линию влияния лишнего неизвестного Х_{ путем умножения всех ординат на М^. На рис. 6.28 показаны л. в. Ml и л. в. М^Х. Для рассмотренного выше примера в качестве точки k выбрана точка 2 в середине первого пролета. ПоэпюреМ отХ = 1 (см. рис. 6.27, б) момент в точке 2 равен М₂ = -d.

На рис. 6.28, г изображена линия влияния момента в точке 2 для двухпролетной неразрезной балки. Для сложных статически неопределимых систем обычно применяется матричная форма записи, а для всех вычислений используются компьютеры.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Определить степень статической неопределимости системы, изображенной на рис. 6.29. Выбрать два варианта основной системы, построить эпюры М для обеих основных систем и сравнить их между собой.

Указание: Для проверки полученного решения послужит условие подобия эпюр М в обоих вариантах основных систем.

Задача 2. Построить эпюру моментов в раме, изображенной на рис. 6.30, при равномерном нагреве стойки.

Рис. 6.29.

Рис. 6.30.

Рис. 631.

Рис. 632.

Задача 3. Построить линию влияния опорной реакции на правой опоре (рис. 6.31).

Указание. При построении линии прогибов от Х_{ = 1 удобно провести аналитическое решение для определения прогиба в произвольной точке от Х = 1 и получить аналитическое выражение для ординат л. в. Х.

Задача 4. Вычислить момент в сечении над средней опорой при осадке этой опоры на величину (рис. 6.32).