Основные уравнения метода конечных элементов

При расчете конструкций, но методу конечных элементов, как уже упоминалось ранее, приходится составлять и решать систему уравнений. Эти уравнения составляются исходя из трех основных связанных друг с другом условий.

• 1. Каждый конечный элемент, а также система в целом должны удовлетворять уравнениям статики. Равнодействующие сил, возникающих в узлах сопряжения элементов, должны равняться нулю. Условий статики, как правило, бывает недостаточно для определения сил взаимодействия между конечными элементами, поэтому задача является статически неопределимой, при этом степень статической неопределимости в большинстве случаев бывает весьма высокой.
• 2. Дополнительные уравнения для определения лишних неизвестных составляются из условия совместности деформаций конечных элементов. Эта задача является одной из важных и вместе с тем наиболее сложной. Она рассмотрена в следующем параграфе.
• 3. Для составления уравнений второго типа необходимо установить связь между силами, передающимися в местах соединения элементов, и перемещениями, которые вызываются этими силами, а также внешней нагрузкой. Нагрузки, приложенные к внешнему контуру, в большинстве случаев сводятся к сосредоточенным силам, приложенным к узлам, расположенным на контуре. Это условие тесно связано с предыдущим условием, а следовательно, и с выбором расчетной схемы (основной системы).

В зависимости от последовательности применения трех условий существуют разновидности расчета по методу конечных элементов. Так же как при расчете статически неопределимых стержневых систем, применяется метод сил или метод перемещений. При использовании метода перемещений матрицы системы «лишних» неизвестных имеют некоторую особенность. Этот метод приводит к ленточным матрицам, содержащим значительное количество нулей, что обычно эффективно используется при составлении программ для компьютера.