Построение линий влияния

Рассмотрим одну из наиболее простых статически определимых комбинированных систем (рис. 11.11, а). Вначале построим линию влияния усилия в затяжке 1—2. Для этого проведем сечение I—I и рассмотрим равновесие левой отсе;

Рис. 11.11.

ченной части. Предполагая, что груз находится справа от сечения I—I, из равновесия левой части получим

откуда найдем.

Линия влияния при грузе, находящемся правее сечения I—I, имеет такое же очертание, как линия влияния опорной реакции R_A, которая представляет собой треугольник с ординатой над левой опорой, равной единице. В нашем случае, но уравнению (11.3) над левой опорой необходимо отложить ординату 1/(2/) (рис. 11.11, б). Но полученная правая прямая действительна только на протяжении от опоры В до шарнира С. Под точкой С пересекутся левая и правая прямые. Ордината над точкой С будет //(4/). Таким образом, получим л. в. Я в виде треугольника (см. рис. 11.11,6).

Для определения изгибающего момента в точке k проведем в непосредственной близости от стойки сечение II—И. Из равновесия левой части при грузе правее сечения найдем.

Итак, ординаты правой прямой состоят из ординат двух прямых: прямой, определяющей линию влияния R_A в масштабе (ik, и прямой, являющейся линией влияния распора в масштабе /. Ордината в середине пролета будет.

но aft = ¼, поэтому момент М* при единичном грузе, расположенном в середине пролета, равен -1/8; если груз Р = 1 стоит в точке k, то.

По этим данным построена л. в. (рис. 11.11, в). На рис. 11.11, г показана линия влияния поперечной силы. Усилие в затяжке 1—2 проецируется на сечение k в ноль, поэтому величина Н не влияет на величину поперечной силы Qj,. Ее вид будет такой же, как для простой балки.

В рассмотренной линии влияния момента положение нулевой точки легко определить графически. На рис. 11.12 показано направление равнодействующих сил, приложенных к левой и правой частям, когда единичный груз находится в точке, которой соответствует равенство нулю момента М*. Каждая из равнодействующей приложена в точке пересечения горизонтальной силы Н и соответствующей опорной реакции. Равнодействующая, приложенная к правой части, обязательно пройдет через шарнир С, так как момент в шарнире равен нулю. Равнодействующая сил, приложенных к левой части, должна пройти через точку k, так как только в этом случае М* = 0. Там, где пересекутся две равнодействующие, и должен расположиться груз Р — 1. Под этим грузом и будет лежать нулевая точка л. в. М/,.

При расчете статически неопределимых комбинированных систем обычно применяется метод сил, по которому линия влияния лишнего неизвестного определяется как линия прогибов от единичного значения неизвестного, деленная на масштаб 5ц (см. п. 6.12).

Рис. 11.12.

Особенностью расчета в этом случае является вычисление масштаба 5ц с учетом изгиба в балке жесткости и осевых сил в элементах цепи:

Все остальные вычисления проводятся по обычной схеме.

Рассмотрим систему, которая приведена в примере 2 предыдущего параграфа. Масштаб 6_И = 1839/(?/).

Для построения линии прогибов балки, по которой движется единичная сила Р = 1 (рис. 11.13, а), необходимо вычислить прогибы от трех единичных сил, которые передаются на балку от действия силы Х = 1 (рис. 11.13, б). Эту задачу можно решить, применяя метод фиктивных сил (см. и. 5.11).

Формула подсчета фиктивного груза имеет вид.

При расстояниях между узлами, равных S_n = 5,_|+| = d = 6, и при EJ = const получим.

По эпюре М" (см. рис. 11.9) найдем.

Фиктивная балка для данной задачи представляет собой простую двухопорную балку. Найдя фиктивные моменты от загружения балки фиктивными грузами W (см. рис. 11.13, б), получим линию прогибов, которая изображена на рис. 11.13, в. При построении Мф мы придерживались принятого ранее правила знаков: 1) грузы W направляли в сторону растянутого волокна в эпюре М (которая была сверху); 2) эпюру Мф от грузов W, направленных вверх, строили также со стороны растянутого волокна. В результате Мф отложены вверх. Это означает, что прогибы от Х = 1 направлены вверх, т. е. в противоположном направлении от груза Р = 1,.

Рис. 11.13.

ОТ которого строится ЛИНИЯ ВЛИЯНИЯ. Поэтому эпюра Мф имеет знак «минус». В соответствии с формулой (11.3) получим л. в. (рис. 11.13, г); для этого все ординаты эпюры Мф разделим на 8ц и сменим знак на обратный.

В тех случаях, когда узлы цепи гибкой арки лежат на узлах квадратной параболы, линии влияния в других подвесках будут совпадать с л. в. Х. Рассмотрим равновесие произвольного узла гибкой арки, показанного на рис. 11.14. Усилия в элементах цепи обозначим N" и М"₊₁. Ввиду того что цепь сжата, обе силы N направлены к узлу. Усилие в стойке направлено вниз. Составим сумму проекций на горизонтальную ось:

Из этого равенства следует, что узел п уравновешивается двумя проекциями сил N, которые равны распору. Отсюда найдем.

Проецируя все силы на вертикаль, запишем.

Подставляя сюда значения сил N согласно равенству (11.4) и определяя усилие в стойке, найдем.

или

Построим л. в. распора Я. Из равенства (11.6) найдем.

Таким образом, линия влияния распора Я будет иметь такой же вид, как и л. в. Х. Все ординаты л. в. Я получатся из ординат л. в. Х путем деления их на разность тангенсов углов наклона примыкающих к узлу п элементов цени.

Рассмотрим теперь случай, когда узлы гибкой арки располагаются на оси квадратной параболы. В этом случае разность тангенсов углов наклона есть величина постоянная и равная 8fd/l², где d — расстояние между подвесками. Поэтому из выражения (11.6) получим.

Из выражений (11.4) и (11.8) следует, что построенная л. в. Х_{ подобна линиям влияния усилий N и распора Я. Для перехода от л. в. Х_{ к л. в. N надо все ординаты л. в. Х разделить на соответствующий косинус угла (р, а для получения л. в. Я — умножить на.

l²/(8fd).

Построим теперь линию влияния изгибающего момента в сечении под первой стойкой по формуле Mk = Ml +МХ в этой точке М = -9 (см. рис. 11.9).

На рис. 11.15 показаны комбинированная система, линия влияния Ml в основной системе и окончательная линия влияния момента в точке k.

Вычисления целесообразно проводить в табличной форме (табл. 11.3).

Таблица 113