Составление характеристического уравнения

Так как узловая нагрузка не вызывает моментов в основной системе (Rp = R₂p = … = 0), то канонические уравнения будут однородными:

При потере устойчивости Z ^ 0, что возможно только тогда, когда определитель из коэффициентов r_ik равен нулю,.

Мы получили характеристическое уравнение, из которого находятся критические силы. Проследим это на примерах.

Примеры расчета рам на устойчивость

Рассмотрим примеры расчета рам на устойчивость при действии узловой нагрузки.

Пример 1. Найдем критическую силу для рамы, изображенной на рис. 16.13, а. Основная система показана на рис. 16.13,6. Число неизвестных равно единице. Деформированное состояние изображено на рис. 16.13, в, а эпюра М приведена на рис. 16.13, г. Отметим, что для сжатой стойки эпюра криволинейная, так как от силы Р добавляются моменты Р у. При вычислении реакций эта криволинсйность учитывается поправочным коэффициентом ф©. Реакция.

Каноническое уравнение будет г,, 2, = 0.

Характеристическое уравнение (16.35) будет состоять из опре;

3 EJ

делителя первого порядка |гц| = 0, или —т [2 + срДс)] = 0, откуда.

Рис. 16.13.

По таблице Приложения находим v = 3,973.

По формуле (16.32) имеем.

Пример 2. На рис. 16.14, а показана простая рама, у которой сжатый стержень шарнирно оперт на концах. Может сложиться впечатление, что форма потери устойчивости сжатого стержня будет такой, которая показана на рис. 16.14, б, однако эйлерова сила, как увидим в дальнейшем, не будет наименьшей. Рассмотрим другую возможную форму потери устойчивости, показанную на рис. 16.14, в. По методу перемещений система имеет одно неизвестное. Основная система и эпюра М приведены на рис. 16.14,гид.

По эпюре М усилие в линейной связи.

Характеристическое уравнение для системы с одним неизвестным будет.

откуда v² = 3.

Критическая сила Р_кр = 3EJ/P.

Таким образом, минимальная критическая сила меньше эйлеровой силы n²EJ/l² примерно в 3 раза.

На рис. 16.14, е показана рама с тремя стойками с силой Р на первой стойке, также шарнирно опертой по концам. Сопротивление отклонению рамы теперь оказывают две одинаковые стойки, поэтому критическая сила в 2 раза больше: Р_кр = 6EJ/1². При добавлении еще одной стойки с заделкой внизу и с шарниром вверху критическая сила будет Р_кр = 9EJ/1² (что по-прежнему меньше эйлеровой силы n²EJ/l²).

Из этого примера можно сделать вывод, что при определении критической силы каждый раз необходимо исследовать всю систему в целом, а не отдельные ее стержни.

Пример 3. На рис. 16.15, а показана рама, загруженная двумя одинаковыми силами Р, приложенными в узлах перекрытия первого этажа, вызывающими усилия в двух стойках, равные Р. Длины и жесткости всех стержней одинаковы. Применяя метод перемещений, будем иметь два неизвестных угла поворота узлов и одно линейное смещение. Основная система изображена на рис. 16.15, б, а эпюры от единичных значений неизвестных приведены на рис. 16.15, в — д. Отметим, что в сжатых стержнях эпюры моментов криволинейные, а в остальных стержнях очерчены прямыми линиями^.

По эпюрам M_lt М2 и М3 находим

Знак «минус» в реакциях г₁₃, г₃₁, г₂₃ и г₃₂ поставлен потому, что моменты в соответствующих узлах эпюр М и М₃, а также М₂ и М₃ имеют разные знаки.

Во всех реакциях г,_к имеется одинаковый множитель EJ/1, поэтому в определителе, который приравнивается нулю, можно все элементы сократить на этот множитель. В этом случае характеристическое уравнение примет вид.

Так как определитель равен нулю, то можно последний столбец и последнюю строку сократить на 1//, тогда будем иметь.

Раскрывая определитель и обозначая 4<�р₂(п) + 11 = X, получим.

или.

Решая уравнение, найдем.

Таким образом, 4(р₂(?') + 11 ={ 1; 2}, откуда сргС^Т) ⁼ -2,25; ⁼

= -2,5.

Пользуясь таблицей функций (v) (см. Приложение), получим V = 5,72; z>2 = 5,76.

Соответственно имеем два значения критической силы.

Для практических целей нужна только первая критическая сила. Физический смысл двух разных (в данном случае близких друг к другу) сил объясняется тем, что формы потери устойчивости, соответствующие разным силам, различны. На рис. 16.15, е приведены две формы потери устойчивости: симметричная, показанная жирными линиями, соответствует силе Ра кососимметричная (пунктирная) — силе Р2кр;

Рис. 16.16.

Пример 4. Рассмотрим более сложную систему, изображенную на рис. 16.16, а, имеющую три неизвестных угла поворота узлов. Основная система изображена на рис. 16.16, б, а три единичные эпюры показаны на рис. 16.16, в — д.

По эпюрам М_ь М₂ и М₃ находим.

Характеристическое уравнение (16.35) после сокращения па множитель 2EJ/1 будет.

Для отыскания минимального значения v в данном случае удобнее всего построить график функции D (v) и определить значение v для точки, в которой D (v) = 0. Для вычислений необходимо использовать таблицы, приведенные в Приложении.

Вычисления значений D (v) при разных v приведены в табл. 16.3.

График зависимости определителя D (v) как функции от v показан на рис. 16.17. Нулевое значение определителя будет при v = = 3,561.

Значение параметра критической нагрузки.

Форма потери устойчивости, соответствующая наименьшей критической силе, показана на рис. 16.16, е.

Таблица 16.3

Рис. 16.17