Исследование различных методов численного интегрирования в среде MatLab

Севастопольский Национальный Университет Ядерной Энергетики и Промышленности

Вычислительная работа

Предмет: Вычислительная математика

Исследование различных методов численного интегрирования в среде MatLab

Вариант 9

Выполнил: студент 215 класса Иваненко Е.О.

Проверил:

Черненькая Е.А.

Задание № 1

Найти первообразную для функции f(x)=5^(1/3)+58x+cos(2*x), проходящую через точку M0(sqrt(2);1), построить ее график.

>> syms xзадаю символьную переменную

>> y=5^(1/3)+5*x+cos (2*x); - задаю функцию

>> int (y, x) — интегрирую функцию по переменной х

ans =

1 925 261 759 066 421/1125899906842624*x+5/2*x²+½*sin (2*x)

>> syms cзадаю символьную переменную

>> solve ('1 925 261 759 066 421/1125899906842624*sqrt (2)+5/2*sqrt (2)^2+½*sin (2*sqrt (2))+c=1', c)

ans =

— 1 925 261 759 066 421/1125899906842624*2^(½)-4−½*sin (2*2^(½)) — нахошел с

>> x=-6:0.1:6;

>> F=1 925 261 759 066 421./1 125 899 906 842 624.*x+5/2.*x.^2+1./2.*sin (2.*x);

>> plot (x, F -1 925 261 759 066 421/1125899906842624*2^(½)-4−½*sin (2*2^(½)),'g');grid on;hold on;plot (sqrt (2), 1,'r*') -строю функцию и точку на одном графике численный интегрирование matlab

Задание № 2

Вычислить неопределенный интеграл. Построить семейство первообразных при изменении произвольной постоянной от -10 до 10.

>> syms xзадаю символьную переменную

>> a=exp (2*x)/sqrt (1-exp (4*x)); -присваиваю каждой части уравнения букву

>> b=5/(cot (x)^2*(1+tan (x)));

>> c=4^(cot (x))/sin (x)^2;

>> d=cot (x);

>> A=int (a, x); -нахожу интеграл каждой части

>> B=int (b, x);

>> C=int (c, x);

>> D=int (d, x);

>> F=A+B+C+Dнахожу сумму всех частей, т. е.это ответ

F =

½*asin (exp (x)^2)-5*log (tan (½*x)-1)-5*log (tan (½*x)+1)+5/2*log (tan (½*x)^2+1)-5*atan (tan (½*x))+5/2*log (tan (½*x)^2−1-2*tan (½*x))-½/log (2)*2^(2*i*(exp (2*i*x)+1)/(exp (2*i*x)-1))+log (sin (x))

>> x=1:0.1:10;

>> F=½.*asin (exp (x).^2)-5.*log (tan (½.*x)-1);

5.*log (tan (½.*x)+1)+5/2.*log (tan (½.*x).^2+1);

5.*atan (tan (½.*x))+5./2.*log (tan (½.*x).^2−1-2.*tan (½.*x));

½./log (2).*2.^(2.*i.*(exp (2.*i.*x)+1)./(exp (2.*i.*x)-1))+log (sin (x));

>> plot (x, F-5*10³⁵,'r', x, F+10³⁵,'m', x, F+5*10³⁵,'g') -строю семейство первообразных

Задание № 3

Найти интеграл методом подстановки

>> syms xзадаю символьную переменную

>> y=exp (x)/(2+exp (x)); -задаю функцию Заменяю

exp (x)=t;

x=log (t);

тогда

dx=1/t;

y=t/(2+t)*1/t;

>> syms t

>> y=t/(2+t)*1/t; это наша новая функция

>> int (y, t) -интегрирую новую функцию

ans =

log (2+t)

>> subs (y, t, exp (x)) -обратная замена

ans =

1/(2+exp (x))

Задание № 4

Найти интеграл, используя формулу интегрирования по частям

>> syms xзадаю символьную переменную

>> y=(x-1)/cos (x)^2; -задаю функцию

[U=(x-1); dv=1/cos (x)^2; du=1; v=tan (x)];

=uv;

>> int (y, x) -интегрирую функцию

ans =

x*tan (x)+log (cos (x))-sin (x)/cos (x)

Задание№ 5

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=1/sqrt(8+2*x-x^2),x=-0.5,x=1. Построить и закрасить криволинейную трапецию, подобрать масштаб

>> syms x-задаю символьную переменую

>> y=1/sqrt (8+2*x-x²);-задаю функцию

>> ezplot (y) -строю функцию

>> a=-0.5;b=1; -задаю пределы интегрирования

>> xm=a:0.01:b;

>>ym=subs (y, x, xm);

>>hold on

>>patch ([a xm b],[0 ym 0],[0 1 0]) -закрашиваю площадь

>> S=int (y, a, b)-нахожу прощадь

S =

1/6*pi

Ответ: S =1/6*pi (кв.ед)

Задание № 6

Исследовать на сходимость интеграл

>> syms x

>> y=1/(2+x);

>> int (y, 2,2)

ans =

Сходится!!!

Задание № 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3,y=sqrt(x)

>> syms x-задаю символьную переменную

>> y1=x³;y2=sqrt (x); -задаю функции

>> ezplot (y1);grid on;hold on;ezplot (y2) -строю обе функции на одном графике

>> S1=int (y1,0,1); -нахожу площадь одной трапеции

>> S2=int (y2,0,1);-нахожу площадь другой трапеции

>> S=S2-S1 -разность площадей и будет ответ

S =

5/12

Ответ S = 5/12(кВ.ед)

Задание № 8

Найти длину кривой ro=a(1+сosphi)-это кардиоида,(a>0)

>> phi=0:pi/100:2*pi; -задаю угол

>> ro=1+cos (phi);-задаю функцию

>> polar (phi, ro) -строю функцию в ПСК

>> syms phi

>> ro=1+cos (phi);

>> a=diff (ro, phi)

a =

— sin (phi)

>> b=sqrt (ro²+a²);

>> L=int (b, 0,2*pi) -нахожу длину кривой

L =

Ответ: L = 8(изм.ед)

Вывод: я научился находить первообразную функции, находить определенный и не определенный интеграл. Так же находить площадь и объемы фигур.