Приближенные симметрии Ли-Беклунда и их приложения к уравнениям в частных производных с малым параметром

В настоящей диссертации рассматриваются задачи, возникающие в приложениях современного группового анализа к уравнениям в частных производных с малым параметром. Диссертация состоит из двух глав и посвящена приближенным условным симметриям, которые рассматриваются в первой главе, и нахождению асимптотических решений приближенного уравнения Буссинескаво второй главе.

Групповой анализ берет свое начало в работах С. Ли [46], [47]. Развитие он получил много лет спустя в работах JI.B. Овсянникова [18], [20], JI.C. Понтрягина [23], Р. Олвера [21], Ж. Блумана [32], Н. Х. Ибрагимова [5], А. Б. Шабата [16], В. И. Фущича [25] и многих других.

Приближенные симметрии, как отдельное направление в групповом анализе, появились в конце восьмидесятых годов двадцатого века в работах В. А. Байкова, Р. К. Газизова, Н. Х. Ибрагимова [2]. В этих работах рассматривались, в основном, точечные приближенные симметрии^ строились" приближенно-инвариантные-решения.— Основная цель, поставленная в этих работах — нахождение приближенных решений уравнений в частных производных с малым параметром. Этим успешно занимались как в России, так и за рубежом. Работа эта продолжается до сих пор. Основные результаты принадлежат школе Ибрагимова Н. Х. и связаны с использованием понятия приближенных симметрий. Следует отметить, что имеется другой подход использования симметрий в задачах с малым параметром, разработанный в работах В.И. Фу-щича [59], который отличается от [2] и здесь не рассматривается.

В настоящей диссертации (в первой главе) рассматриваются приближенные условные симметрии Ли-Беклунда Известно, что впервые неклассические симметрии появились полвека назад в работе.

Блумана Ж. и Кола Ж. [31]. Дальнейшее развитие это направление получило с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В. И., Серова Н. И. [26]- Жданова Р. З. [60]- Сергеева А. Г. [55]- Фокаса А. С., Лью К. М. [57],[56]- Ол-вера П. [21]- Леви Д., Винтерница П. [45]- Кларксона П. [49] и многих других. Оказалось, что множество уравнений, обладающих интегрируемыми редукциями (часто называемых условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией.

Актуальность темы

состоит в том, что с развитием теории условных симметрий Ли-Беклунда появляются новые возможности для нахождения решений как интегрируемых так и неинтегрируемых уравнений. Приближенные симметрии Ли-Беклунда используются для построения асимптотических решений уравнений с малым параметром.

В первой части диссертации ставится задача развития приближенных групповых методов с использованием неклассических симметрий. Основные результаты первой главы относятся к приближенным условным симмет-риям Ли-Беклунда. Конечной целью является нахождение решений уравнений в частных производных с малым параметром, в том числе неинтегрируемых уравнений, условно — инвариантных относительно приближенных операторов Ли-Беклунда. Поэтому здесь не только строятся условные симметрии Ли-Беклунда, в том числе приближенные, но также на примерах вычисляются приближенные решения неинтегрируемых эволюционных уравнений в частных производных с малым параметром.

Основу составляет предлагаемая теория приближенных условных симметрий Ли-Беклунда [11], [44]. Здесь даются основные определения и доказываются теоремы, такие как теоремы наследования классических и неклассических симметрий Ли-Беклунда, теорема о получении неклассических симметрий из классических, теорема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром. Вся теория хорошо иллюстрируется примерами.

Во второй части диссертации рассматривается приложение методов современного группового анализа в комбинации с методом многих масштабов для построения асимптотического решения приближенного уравнения Буссинеска, которое появляется в теории поверхностных волн. Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенциированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5.

Остановимся коротко на содержании диссертации. В параграфах 1.1, 1.2 изложены основные понятия современного группового анализа.

Основы теории преобразований Ли-Беклунда были заложены в работах С. Ли [46] более ста лет назад. В этом направлении большие исследования были проведены А. Беклундом [29]. Симметрии Ли-Беклунда называются также обобщенными симметриями. Э. Нетер [51] (1918 г.) показала, что можно значительно расширить приложение групповых методов, включая преобразования производных соответствующих зависимых переменных. Обобщенные симметрии являются некоторым обобщением классических лиевских симметрий. Отсюда следует их название.

Позднее обобщенные симметрии были переоткрыты в работах Р. Л. Андерсена, Н. Х. Ибрагимова [27], где они были названы симметриями Ли-Беклунда. Это название используется многими авторами, в том числе и автором этой диссертации. Будем иметь в виду, что симметрии Ли-Беклунда и обобщенные симметрии (например, у П. О л вер, а [21]) это одно и тоже.

В параграфе 1.1 дано определение локальной группы преобразований Ли, инфинитезимальных преобразований, приведена фундаментальная теорема Ли, выраже-ющая связь группы Ли с инфинитезимальными преобразованиями.

В приложениях групповой теории к дифференциальным уравнениям обычно рассматриваются группы, действующие на зависимые и независимые переменные. Предположим, что локальная группа преобразований действует на открытом множестве М С VC U пространства р независимых и q зависимых переменных.

С группой преобразований связан инфинитезималь-ный генератор группы, оператор X на М, заданный формулой: ол) г=1 1.

Тогда п-е продолжение инфинитезимального генератора задается соотношением: ргХ&trade- + и (П}У^> (°-2) а=1 J< '.

4>i = Dj (ipa —? ГО + Е (°-3), г=1 «=1.

Второе суммирование в формуле (0:2) ведется по муль-тииндексам J = (ji,., jk), 1 < jk < p, 1 < к < n, a соответствующий оператор Dj = D^D^. ¦. выражается через оператор полной производной Di [21].

Для уравнений в частных производных известен ин-финитезимальный критерий инвариантности, который утверждает, что группа допускается дифференциальным уравнением в частных производных.

F (x, u, ui:u2,., ик) = 0 (0.4) тогда и только тогда, когда выполняется prXFy=0 = 0, (0.5) где х = {хъ ., хп), ик = щ, к — мультииндекс.

Если для уравнения (0.4) выполняется равенство (0.5), то оператор X называется точечной (классической) симметрией уравнения (0.4).

Теория симметрий Ли-Беклунда была разработана в работе Андерсена Р. Л., Ибрагимова Н. X. [27]. Теория обобщенных симметрий построена параллельно Олвером.

П. [21].

Напомним известное определение симметрий Ли-Беклунда (обобщенных симметрий).

Обозначим через Л пространство дифференциальных' функций Р (хМп)) — зависящих от х1 и и производных функции и до n-го порядка (конечного, но меняющегося), гладких по всем своим переменным.- Пусть р — число независимых переменных, q — число зависимых переменных функции Р. Напомним определение оператора Ли-Беклунда, имеющего также название обобщенного век-игорного поля [21]г ~ — — —— ————————.

Определение 0.1. Оператором Ли-Беклунда называется оператор X вида: о-б) г=1 а=1 где £г и ipa принадлежат пространству Л.

Квадратные скобки здесь означают, что функция зависит от х, и и производных функции и до конечного порядка. Продолжение оператора задается формулой (0.2) с учетом £г, <ра Е Л.

Определение 0.2. Оператор X, заданный формулой (0.6), будем называть симметрией Ли-Беклунда уравнения в частных производных (0.4), если для него выполняется равенство (0.5) при условии [F] = 0.

Основной целью, которая послужила развитию сим-метрийных методов, является нахождение решений дифференциальных уравнений. Классические симметрии, как известно, используются для получения редукций систем дифференциальных уравнений [21], [32]. Но иногда некоторые физически важные уравнения имеют мало классических лиевских симметрий. Поэтому для получения решений используются симметрии Ли-Беклунда. А для получения редукции уравнений в частных производных можно использовать как классические, так и неклассические симметрии Ли-Беклунда.

В диссертации рассматриваются канонические операторы Ли-Беклунда.

Определение 0.3. Пусть rj[u] = (771 [и],., rjq[u]) Ei9-набор дифференциальных функций. Оператор Ли-Беклунда вида называется каноническим оператором Ли-Беклунда, а т1 = г)[и], называется его характеристикой.

0.7).

Формула продолжения для канонического оператора Ли-Беклунда имеет довольно простой вид: ргХ, =. .(0.8) a, J J.

Применение канонических операторов Ли-Беклунда для получения редукции уравнений в частных производных встречается в работах Ж. Блумана [32]. Оказывается, что множество уравнений (систем), обладающее интегрируемыми редукциями (часто называемое условно интегрируемыми), гораздо больше множества уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния или прямой линеаризацией [57]. Развитием этого подхода занималась школа В. И. Фущича, в частности, Р. З. Жданов [60] доказал теорему редукции для эволюционных уравнений, условно-инвариантных относительно оператора Ли-Беклунда. Определение условных неклассических симметрий Ли-Беклунда известно [60] следующее:

Определение 0.4. Оператор (0.7) называется неклассической условной симметрией Ли-Беклунда для уравненийв частных-производных.

F (x, t, и, их, щ, ихх,.) = 0, (0.9) если prXF 0. (0.10) о.

Ы=о.

Квадратными скобками принято обозначать все дифференциальные следствия функции по независимым переменным.

Исторически первая работа по неклассическим условным симметриям принадлежит Блуману Ж. и Колу Ж. [31]. Но свое развитие условные симметрии получили с 80-х годов прошлого века в работах Фущича В. И., Серова Н. И. [26], Жданова Р.3. 60], Сергеева А. Г. [55], Фокаса А. С., Лью К. М. 57], Олвера П. [54], Леви Д., Винтерница П. [45].

В данной диссертации рассматриваются приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда и их применение к получению приближенных решений эволюционных уравнений с малым параметром. Такое применение основано на использовании понятия приближенной симметрии. Именно для исследования симметрий-ных свойств дифференциальных уравнений, содержащих, малый параметр, развивалась теория приближенных групп преобразований [2]. Напомним некоторые определения из [2].

Определение 0.5. Приближеным (n-го порядка) уравнением п.

————————- ———————(«.Hi г=0 называется класс уравнений G[z, e) = 0, которые определяются функциями.

G (z, е) = F0(z) + eFx{z) +. + enFv (z) + о[еп), асимптотически совпадающими до порядка о (еп).

Здесь и всюду ниже под о (еп) понимаются функции остатки) а (е), обладающие свойством.

— 5−0 £п.

Поскольку все рассматриваемые функции зависят помимо е еще и от других переменных, то всюду считается, что асимптотические оценки остатков через о{еп) являются равномерными по остальным переменным. Такое свойство равномерности имеет место, если рассматриваются гладкие функции на компактах. При практической реализации это накладывает ограничение либо на область определения решений (вне окрестностей сингулярных точек), либо на рост решения на бесконечности. Впрочем, в первой части диссертации изучаются уравнения с малым параметром без каких-либо остатков.

Приближенным решением кго порядка точности уравнения (0.11) будем называть функцию и1 удовлетворяющую уравнению (0.11) с точностью до к — то порядка, то есть.

Обычно такие функции строятся в виде отрезков асимптотических рядов и называются асимптотическими (приближенными) решениями.

F0(z)+sF1(z) =0. п к.

0.12).

Приближенные симметрии Ли-Беклунда введены в рассмотрение Байковым, Газизовым Р. К. и Ибрагимовым Н. Х. в [2]. Такие симметрии определяются операторами вида хч = (°-13) где r]a «t)q+er]i+. .—£пг]%, г)* Е А. Под приближенным равенством понимается асимптотическое совпадение до некоторого порядка, в данном случае до еп. При этом говорят, что уравнение (0.11) инвариантно относительно оператора (0.13). Для таких операторов,. как и для точных канонических операторов Ли-Беклунда, формула продолжения имеет простой вид: prXv^Yl (0.14) a, J ^.

Аналог симметрийной теории для приближенных дифференциальных уравнений был предложен Байковым В. А., Газизовым Р. К. и Ибрагимовым Н. X. [2]. В диссертации и в работах [11], [44] вводятся приближенные неклассические симметрии Ли-Беклунда на основе канонических операторов. Целью такого введения является нахождение новых решений дифференциальных уравнений с малым параметром, а также решений неинтегрируемых уравнений.

Определение 0.6. Оператор Xv (0.13) мы будем называть приближенной условной (неклассической) симметрией Ли-Беклунда (п-го порядка точности) для приближенных дифференциальных уравнений в частных производных (0.11), если п prX^^Fi) о{еп), (0.15).

Е?=о ^т]=о (еп) где 770 — характеристика точной условной симметрии Ли-Беклунда уравнения Fq = 0.

В параграфе 1.4 доказываются теоремы наследования приближенных симметрий (классических и неклассических) Ли-Беклунда эволюционными уравнениями с малым.параметром. Приведены примеры получения таких симметрий для эволюционных уравнений с малым параметром.

В диссертации и работах [11], [44] дано определение приближенного условно-инвариантного решения.

Определение 0.7. Пусть канонический оператор X^ (0.13) определяет приближенную условную симметрию. Ли-Беклунда для уравнения (0.11). Тогда приближенное решение и уравнения (0Д1), заданное формулой (0.12) n-го порядка точности, называется условно — инвариантным относительно приближенного оператора Ли-Беклун-да Xv (n-го порядка точности), если j=o.

Все введенные выше понятия нужны для того, чтобы находить приближенные решения дифференциальп.

0.16) ных уравнений с малым параметром. Приближенные решения получаются на основе точных решений невозмущенных уравнений. Для невозмущенных уравнений применяется теорема редукции, где используются точные условные симметрии Ли-Беклунда [60]. Исходя из этой теоремы, в диссертации в параграфе 1.5 доказана теорема редукции для эволюционных уравнений с малым параметром [11], [44].

В параграфе 1.6 приводится пример построения решений с применением теоремы редукции. Так, для уравнения, являющегося неинтегрируемым возмущением уравнения переноса, получено решение, условно-инвариантное относительно приближенной неклассической симметрии Ли-Беклунда.

Во второй главе диссертации рассматриваются приложения симметрий Ли-Беклунда и метода многих масштабов к приближенному уравнению Буссинеска. Исследованы некоторые замечательные свойства этого уравнения. Обсуждаемое здесь уравнение Буссинеска получается из системы уравнений для поверхностных волн в случае одномерного плоского движения жидкости: — —.

Фхх +^фуу = 0, хеш, 0 <у< h (x, t) — (0.17) ht + hx (f)x — £~1фу = 0, при у = h (t, х);

1 1.

Фг + gФ1 + 2е'1 Ф + 9h = 0, при у = h (t, х).

Здесь (f>(x, y, t) — потенциал скорости, свободная поверхность задается уравнением у = h (x, t) — глубина невозмущенной жидкости ho = const. Уравнения дополняются условием непротекания фу = 0 на горизонтальном дне при у = 0. Для степеней производных всюду ниже используются обозначения типа фх = (фх)2, фхх = (фхх)2 и т. д.

Применение приближенных методов основано на наличии малого параметра в исходных уравнениях. В модели длинных волн на мелкой воде в качестве малого параметра 0 < г < 1 выступает квадрат отношения вертикального масштаба к горизонтальному [19].

Система (0.17) преобразуется к приближенному уравнению Буссинеска, в котором идентифицированы слагаемые до порядка о (е2). е utt ~ uzz — uzzzz + 2uzutz/S + utuzz/3.

1 6 zz 1LzzUtzz-{- UZZUZ Гzzzzzz b о 0 (0.18).

Уравнение (0.18) было получено в [19] с точностью до первого порядка по е. При выводе уравнения использовался подход, принадлежащий Буссинеску [33]. Уравнение было получено с точностью до второго порядка по е в [43].

В диссертации для уравнения (0.18) построено асимптотическое решение в виде u (z:tе) = 2к th, А + 2к th В + eui (z, t] е) + e2u2(z^tб),.

0.19) где k (t-z) k*et 3lk5e2t «k (t + z) k3et 31 k5e2t.

A = ——H——, В — —-4—;

6 54 4860 ' 6 54 4860.

Функции щ, U2, ограниченные равномерно no z, t, вычисляются явно. Функция (0.19) удовлетворяет уравнению (0.18) с точностью 0(б3), е —У 0 равномерно для всех z, t.

Для построения ассимптотического решения использовался оригинальный метод с применением канонических операторов Ли-Беккунда.

Основным результатом в этой части диссертации можно считать систему уравнений, полученную на главные члены асимптотики, состоящую из потенциированных уравнений КдФ-3 и КдФ-5. В задаче для поверхностных волн здесь впервые обнаружено появление КдФ-иерархии, которая обеспечивает построение асимптотики вплоть до времен t «е-2, где приближение КдФ-3 становится непригодным.

Именно решение иерархии КдФ приводит к указанным фазовым функциям А, В. Появление этой иерархии ~обязано виду возмущений — слагаемыхпри-б,-б2-в урав— нении (0.18). Возмущения, которые возникают из уравнений поверхностных волн в случае ровного дна, оказываются весьма специфическими. Эта специфика приводит к тому, что возмущение кинка КдФ проявляется лишь в медленном, линейном по времени сдвиге фазы без изменения амплитуды. Это также является одним из результатов данной диссертации.

В конце второй главы приведен пример использования общей теории применительно к тому же приближенному уравнению Буссинеска. Исследуется проблема наследования классических симметрий Ли-Беклунда линейного волнового уравнения в комбинации с идеями метода многих масштабов. При получении асимптотических решений уравнения Буссинеска в таком подходе возникает та же КдФиерархия на главные члены асимптотики.

1. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // ВИНИТИ, 1989. Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения». М. — Т. 34. — С. 3 — 83.

2. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Методы возмущения в групповом анализе. // ВИНИТИ, Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения». М. Т. 34. 1989. — С. 85 — 147.

3. Багдерина Ю. Ю., Газизов Р. К. Приближенно инвариантные решения дифференциальных уравнений с малым параметром. // Дифференц. уравнения., 2005. Т. 41, № 3. — С. 347 — 355.

4. Доброхотов С. Ю. Нелокальные аналоги нелинейного уравнения Буссинеска для поверхностных волн над неровным дном и их асимптотические решения // ДАН. Т. 292, 1987. — С. 63 — 67.

5. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. // М. Наука, 1983. 280 с.

6. Калякин JI.A. Асимптотика одного интеграла, возникающего в теории возмущений солитонов КдФ // Математические Заметки, Т. 50, № 5, 1991. — С. 32 -42.

7. Калякин JI.A. Возмущение солитона Кортевега де Фриза // ТМФ, — Т. 92, № 1. 1992. — С. 62 — 76.

8. Карпман В. И., Маслов Б. М. Теория возмущения для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, № 2. — С. 281 -291.

9. Киселев О. М. Возмущение уединенной волны нелинейного уравнения Клейна Гордона // Сиб. мат. ж. — Т. 41, № 2, 2000. — С. 345 — 358.

10. Кордюкова С. А. Метод многих масштабов и симметрии приближенного уравнения Буссинеска. // Межвузовский научный сборник Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Уфа, 2002. — С. 77 — 87.

11. Кордюкова С. А. Неклассические приближенные симметрии Ли-Беклунда. // Вестник БГУ, № 3, 2006. С. 3−4.

12. Кордюкова С. А. Метод многих масштабов для приближенного уравнения Буссинеска. // Спектральные и эволюционные задачи. Труды конференции КРОМШ-5. Симферополь, 2006. С. 76 — 80.

13. Кордюкова С. А. Иерархия Кортевега-де Фриза как асимптотический предел системы Буссинеска // ТМФ. Т. 154, № 2, 2008. — С. 294 — 304.

14. Маслов Е. М. К теории возмущений для солитонов во втором приближении. // ТМФ. 1980. Т. 42,3. С. 362 — 373.

15. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические со-литонообразные решения уравнений с малой дисперсией // Успехи Мат. Наук. 1981. Т. 36, вып.З. — С. 63 — 126.

16. Михайлов А. В., Шабат А. В., Ямилов Р. И. Симмет-рийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. Т. 42, вып. 4 (256), 1987 г. — С. 1 — 53.

17. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989 г. — 323 с.

18. Овсянников J1.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск. Издательство Новосибирского госуниверситета, 1966. 132 с.

19. Овсянников Л. В. Лагранжевы приближения в теории волн. В кн. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн // Наука: Сибирское отделение. Новосибирск. 1985. С. 10 — 77.

20. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва, Мир. 1989. 635 с.

21. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М., Мир, 1983. 398 с.

22. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М., Наука, 1884. 520 с.

23. Солитоны. Под ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри, Москва, Мир. 1983.

24. Фущич В. И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики // Докл. АН СССР., 1979. Т. 246, № 4. — С. 846−850.

25. Фущич В. И., Штелен В. М., Серов Н. И. Симметрий-ный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики // Навукова Думка, Киев. 1989. 336 с.

26. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backhand Transformation in Applications. Philadelphia: SIAM Stadies in Applied Mathemtics, 1979. 124 p. i it.

27. Baikov, V.A., Gazizov, R.K., Ibragimov, N.H. Approximate transformation groups and deformations of symmetry Lie algebras. Chapter 2 in CRC Handbook.

28. Backlund A.V. Ueber Flachentransformationen. -Math. Ann. 1876, — Bd.9., p. 297 — 320.

29. Backlund A.V. Zur Theorie der Flachentransformationen. Math. Ann. — 1882, — Bd. 19., p. 387 — 422.

30. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solutions of the heat equation //J. Math. Mech Vol. 18, № 11, 1969. P. 1025 — 1042.

31. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equation. Springer-Verlag New York, 1989. 412 p.

32. Boussinesq J. Theorie des ondes et de remous qui se propagent de long d’un canal rectangulaire horizontal. J. Math. Pures Appl., ser. 2, t. 17, 1872. P. 55 — 108.

33. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D. and Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1984.

34. Burde G.I. On the asymptotic solutions of the KdV equation with higher-order corrections // Nonlinearity. 2005. V.18. P. 1443 — 1461.

35. Clarkson P.A., Kruskal M. New similarity reductions of the Boussinesq equation //J. Math. Phys. 30, 1989. -P. 2201 2213.

36. Debnath L. Nonlinear Water Waves. Academic Press, INC. Harcourt Brace к Company: 1983. P. 141 — 209.

37. Degasperis A., Manakov S.V., Santini P.M. Multiple-scale perturbation beyond Schroedinger equation // Physica D. 1997. V. 100. P. 187 — 211.

38. Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat condaction equations with sourse and applications // Diff. Int. Eqs. № 3, 1990. P. 863 -874.

39. Капо Т., Nisida Т., A Mathematical justification for Kotteweg-de Vries equation and Bussinesq equation of water surface waves // Osaka J. Math. 1986. V. 23, № 2. — P. 389 — 415.

40. Kodama J. On solitary-wave interaction // Physics Letters A. Vol. 112, № 5. 1985. P. 193 — 196.

41. Kordyukova S.A. Method of multiple scales and approximate group analysis for Boussinesq type equations // Proseedings of the International Conferens MOGRAN 2000, Ufa, USATU. P. 90 — 94.

42. Kordyukova S.A. Approximate group analysis and multiple time scales method for the approximate Boussinesq equation // Nonlinear Dynamics, Vol. 46, № 1−2, 2006. P. 73 — 85.

43. S. Theorie der Transformationsgruppen. Vol. 2. B. G. Teubner, Leipzig, 1890.

44. Olver P.J., Vorob’ev E.M. Nonclassical and conditional symmetries // CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol. 3, N. H. Ibragimov, ed., CRC Press, Boca Raton, Fl., 1996, p. 291 328.

45. Sergyeyev A.G. Constructing conditionally integrable evolution system in (1+1) dimensions: a generalization of invariant modules approach // J. Phus. A. 2002. -Vol. 35, № 1−2, p. 87 99.

46. Fokas A.S., Liu Q.M. Generalized conditional symmetries and exact solutions of non-integrable equations // Teoret. Mat. Fiz. T. 99, № 2, 1994. — P. 263 — 277.

47. Fokas A.S., Liu Q.M. Exact interaction of solitary waves for certain nonintegrable equations //J. Math. Phys., 1996., Vol. 37. P. 324- 345.

48. Fushchich W.I., Zdanov R.Z. Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equation // Phys. Reps. 172, 1989. P. 123 — 174.

49. Fushcych W.I., Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter //J. Phys. A.: Math. Gen., 1989, № 22. P. 887 — 890.

50. Zhdanov R.Z. Conditional Lie-Backlund symmetry and reduction of evolution equations //J. Phys. A 28, 1995, № 13. P. 3841 — 3850.