Актуальность темы
В строительной механике часто приходиться рассматривать механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Все такие механические системы принято называть стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.
Задачи такого типа ранее рассматривались Ю. В. Покорным и его учениками методами дифференциальных уравнений с производными типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Данная диссертационная работа посвящена развитию новых методов математического моделирования упругих континуумов типа стилтьесовских струн.
Целью работы является.
1. развитие новых методов математического моделирования для расчетов формы и сил реакции механической системы типа стилтьесов-ской струны;
2. исследование сопутствующих математических проблем: интегро-дифференциальные уравнения с интегралом Стилтьеса и построение его решения с помощью функции влияния.
Предметом исследования данной работы являются математические модели конкретных механических систем типа стилтьесовских струн и свойства этих моделей.
Научная новизна и методы исследования. Научная новизна данной диссертационной работы состоит в разработке новых методов математического моделирования стилтьесовских струн, в частности разработаны методы функции влияния для расчета формы и сил реакции механической системы типа упругой стилтьесовской струны.
В связи с тем, что функция влияния в построенных математических моделях стилтьесовских струн играет ведущую роль, приведем краткий литературно-исторический обзор её возникновения и развития.
Функция влияния — основополагающее понятие в физике, использующей математические средства для описания физических явлений и законов. При описании разнообразных физических свойств это понятие для физиков незаменимо ничем в условиях, когда о среде изначально ничего не известно.
В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадает с функцией Грина — важнейшим средством математического моделирования. К сожалению, вначале XX века функция влияния выпала из внимания математической физики, поскольку ее заменил другой математический объект — функция Грина.
В данной работе дается математически корректное описание функции влияния для заведомо нерегулярной среды — упругого континуума с локальными (типа дельта функций) аномалиями как во внешней нагрузке (сосредоточенные силы и массы), так и в наружной реакции (по примеру сосредоточенных упругих опор по типу пружинок). Поэтому построение и анализ функции влияния исследуемой задачи — яркий пример создания математического средства изучения моделей, когда прежние канонические методы математики оказываются не эффективными. Кроме того, изучаемая в работе физическая система не допускает в принципе описания с помощью обычных дифференциальных уравнений. В диссертации используется нетрадиционный для математической физики интеграл, а именно — интеграл Стилтьеса, и описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математиче4 ской физики дифференциальным уравнением второго порядка, а интегро-дифференциальным уравнением с интегралом не Римана (или Лебега), а Стил-тьеса.
С давних времен функция влияния (функция источника, функция отклика) стала у физиков одним из наиболее эффективных средств описания взаимосвязи разных сторон сложных явлений. Определяемая как отклонение К (х) точки х исследуемой системы под влиянием единичного возмущения в точке %, эта функция позволяет задать состояние всего объекта в виде и (*)= ]лДх)/(?)с/?, (1) п где интеграл берется по области, вдоль которой распростерт исследуемый объект, а — интенсивность внешнего воздействия в точке %. Вбирая в себя всю специфику объекта, функция = как правило, неотрицательная, что позволяет использовать при анализе задачи теорию интегральных операторов с положительными ядрами.
В начале XX века в задачах математической физики функция влияния приобрела облик функции Грина, введенной сначала для задачи Штурма-Лиувилля ш’У + дм = Лти, (2) и (0) = и (1) = 0. (3).
Обращая, оператор ^ (4) при краевых условиях (3) с помощью интегрального оператора.
С7/)(*)=ф (х,*)/¦(*)<&, (5) о получим функцию Грина.
Почти сразу усилиями Тамаркина понятие функции Грина было распространено на более общие задачи старших порядков. Далее теория функции Грина была развита на основе аксиоматического подхода к определению самой функции Грина, который крайне затруднил анализ конкретных физических задач. Трудности, вызванные аксиоматическим подходом к изучению функции Грина, были настолько серьезными, что, например, М. Г. Крейн основывал доказательство осцилляционных свойств собственных колебаний стержней на изучении функции влияния, а не функции Грина.
Оператор (4), известный физикам как оператор Шредингера, оказался востребован в середине XX века для анализа в случае сингулярных особенностей потенциала д (х), возникающих в виде (например) производных от скачков, называемых по физической терминологии дельта-взаимодействиями (5-функциями). На чисто описательном уровне математическую постановку соответствующей задачи (2) — (3) удалось осуществить созданной для этого теорией обобщенных функций (распределений) Шварца-Соболева. Подобный обобщенный подход не позволял провести достаточно глубокий анализ, не приближая математические выкладки к физически интерпретируемым свойствам той же функции влияния. Причиной сложившейся ситуации являлось то, что для дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами отсутствовала какая-либо параллель с классическими теоремами анализа с поточечным дифференцированием.
Сравнительно недавно доступ к поточечному анализу задачи типа (2) — (3) с обобщенными коэффициентами был разработан Ю. В. Покорным и его учениками путем распространения на дифференциальные уравнения производных типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Для этого уравнение (2) представляли в виде а, л ?<2 л с1м.
—(ри')±^-и = Л —— м, (6) с1сг d.
В этих задачах форма m (jc) одномерного нерегулярного континуума определяется минималью потенциальной энергии (относительно виртуальных форм и (х)).
I г 12 I ф (ы) = j'^-du + f—dQfudF -> min. (7) о ^ 0 2 0.
В (7) интегралы берутся по Риману-Стилтьесу, Qu F имеют ограниченные вариации. Точного определения функции влияния, позволяющего аналогично (5), записать реальную форму из условия (7) в виде м (д:)= 5)^(5), (8) о не было.
Родственные задачи под названием «нерегулярной стилтьесовской струны» ранее изучались М. Г. Крейном в виде лг+О и'+(х) = и'(0)-Л fu (s)dM (s), о где и[ (л:) — правая производная и и' (0) — фиктивное значение левой производной, причем внешним символом этого уравнения была запись du' dM.
Ли.
Последняя запись ранее была введена Феллером при изучении задачи рассеягт ¿-К ния. При этом символ трактовался напрямую конструктивно, т. е. пределом соответствующего разностного отношения. Эти два уравнения были расширены Ю. В. Покорным и его учениками до более сильной формы (6). Однако построение и анализ функции влияния ими не проводились.
Центральными объектами исследования в диссертации являются функция влияния и интегро-дифференциальное уравнение с интегралом Стилтьеса. Эти объекты имеют чисто физическую природу и являются новыми математическими методами моделирования.
Более конкретно в диссертации изучается математическая модель (7), (8) без применения обобщенного дифференцирования по мере, как это делается в работах Ю. В. Покорного и его учеников [31], [32], упрощая, тем самым математический аппарат и делая значительно более наглядным изучаемые свойства.
Поэтому проведенное в работе исследование нестандартных для математики физических систем является совершенно новым направлением, а, по сути — разработкой новых математических методов анализа нестандартных математических моделей.
Для дальнейшего развития метода [35] функции влияния в математическом моделировании автором были выделены и решены следующие частные задачи.
1. Построена и изучена функция влияния для математической модели, описывающей минимизацию функционала энергии для неоднородной струны.
Ф (м)->шт (9) при о ^ о о.
2. Для этой задачи построено интегро-дифференциальное уравнение, моделирующее напряженное состояние нерегулярного упругого континуума ри'){х) + о.
3. Проведено вариационное обоснование адекватности математической модели относительно натурального физического объекта.
4. Исследованы свойства математической модели функции влияния и ее 8 X.
-(ри')М + = Р (х)~ Р (0) — (ри')(0). (10) специальные оценки, обеспечивающие сходимость разнообразных приближенных методов и их точности.
5. Показана усиленная положительность интегрального оператора, обращающего (10) при естественных условиях закрепления концов, что эффективно при построении математических моделей.
6. Показана возможность прогнозировать разрешимость нелинейной задачи.
— (ри%х)+)ис1д = Л (11) о о с монотонной нелинейностью (р{и) при 9>(0) = 0.
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается корректным применением апробированного математического аппарата — математического и функционального анализа, вариационного исчисления, теории однородных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, изложены в виде теорем, снабжёнными точными подробными доказательствами. Обоснование математической модели проведено реализацией классических вариационных идей на нестандартном для математики объекте. Построение и изучение функции влияния осуществлено корректным применением апробированных методов анализа, существенно модифицированных для преодоления трудностей, порождаемых особенностями объекта. Разработанные для решения поставленной научной задачи новые средства, внешне аналогичные классическому дифференциальному исчислению с использованием интеграла Стилтьеса, имеют прототипы и аналоги в классической теории упругости и механике деформируемых твёрдых тел.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес при изучении любого нового класса краевых задач физической природы, поскольку они интересны и значимы с физической и инженерной позиций, а также могут быть использованы при чтении курсов «Инженерные сооружения в транспортном строительстве» и «Строительная механика». Полученные в работе результаты представляют научный, эвристический и методологический интерес.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Ставропольского института экономики и управления (филиал ГТГТУ), на VII, VIII региональных научно-технических конференциях «Вузовская наука — СевероКавказскому региону» (2003, 2004 г.), на V, VI Международных конференциях «Циклы» (2003, 2004 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы в теории функций и смежные проблемы» (2005), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVI» (2005), на расширенном заседании кафедры прикладной математики СевероКавказского государственного технического университета.
Результаты исследования нашли отражение в семи публикациях автора [46−52], из которых три в центральной научной печати, а также в научно-методических рекомендациях, которые внедрены в образовательный процесс Ставропольского института экономики и управления.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка цитируемой литературы из 52 наименований и содержит 111 страниц.
Основные результаты четвертой главы.
1. Обсужден вопрос о существовании и единственности нетривиального решения (при А,>0) у нелинейного интегро-дифференциального уравнения.
X X ри')(х) + = А. — (ри')(0). о о.
2. Доказана единственность тривиального решения данного уравнения при любом X.
3. Указаны условия единственности нетривиального решения.
Заключение
.
В диссертационной работе проведены исследования математической модели неупругого континуума типа стилтьесовской струны. В результате выполнения работы получены следующие научные и практические результаты.
1. Построена и исследована математическая модель физического объекта типа неоднородной струны.
2. Дано вариационное обоснование, мотивирующее адекватность интегро-дифференциального уравнения, как математической модели исходного физического объекта.
3. Разработаны новые математические методы анализа качественных свойств этих уравнений, исследовано явление неосцилляции.
4. Дано корректное математическое определение функции влияния, как математической модели податливости неоднородной струны на основе физического смысла исследуемого объекта.
5. Изучена структура функции влияния и установлены ее знакорегулярные свойства.
6. Разработаны методы расчета главной собственной частоты спектральной задачи.
X X.
-(ри')(х) + uclQ = Л $ис!М, о о м (0) = ы (1) = 0 для рассматриваемого физического объекта.
7. Установлены условия монотонной зависимости от частоты (Л = й соответствующей собственной функции ил (л:) и сходимость при фиксированном Я к этой собственной функции итерационного процесса для нелинейной спектральной задачи.
В заключении автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю кандидату физикоматематических наук, профессору Галкиной Валентине Андреевне, за ценные замечания, а так же всем сотрудникам кафедры прикладной математики, без помощи которых работа могла, и не состоятся как диссертация.
