Определительные испытания. 
Надежность технических систем

Во многих случаях испытания на надежность необходимо проводить до разрушения изделия. Поэтому испытывают не все изделия (генеральную совокупность), а небольшую их часть, называемую выборкой. В этом случае вероятность безотказной работы (надежность) изделия, средняя наработка на отказ и среднее время восстановления могут отличаться от соответствующих статистических оценок вследствие ограниченности и случайного состава выборки. Чтобы учесть это возможное отличие, вводится понятие доверительной вероятности.

Доверительной вероятностью (достоверностью) называют вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра или числовой характеристики лежит в заданном интервале, называемом доверительным.

Доверительный интервал для вероятности р ограничен нижней р" и верхней р_е доверительными границами:

где символ «Вер» обозначает вероятность события, а р показывает значение двухсторонней доверительной вероятности, т. е. вероятности попадания в интервал, ограниченный с двух сторон. Аналогично, доверительный интервал для средней наработки на отказ ограничен Т_н и Г_в, а для среднего времени восстановления — границами Г_{в и}, Т_{а я}.

На практике основной интерес представляют два варианта односторонней вероятности: 1 — что числовая характеристика не меньше нижней или 2 — не выше верхней границы. Первое условие, в частности, относится к вероятности безотказной работы и средней наработке на отказ, второе — к среднему времени восстановления. Например, для вероятности безотказной работы условие имеет вид.

где а — односторонняя доверительная вероятность нахождения рассматриваемой числовой характеристики в интервале, ограниченном с одной стороны. На стадии испытаний опытных образцов обычно принимают, а = 0,7…0,8, на стадии передачи разработки в серийное производство — 0,9…0,95. Нижние значения характерны для мелкосерийного производства и высокой стоимости испытаний.

Далее приведены формулы для оценок по результатам испытаний нижних и верхних доверительных границ рассматриваемых числовых характеристик с заданной доверительной вероятностью а. Если необходимо ввести двухсторонние доверительные границы, то приведенные формулы пригодны и для такого случая. При этом полагают вероятности выхода на верхнюю и нижнюю границы одинаковыми и выражают, а через заданное значение р, так как (1 + а) + (1 — а) = (1 — р), то, а = (1 + Р)/2.

Невосстанавливаемые изделия. Наиболее распространен случай, когда объем выборки меньше десятой части генеральной совокупности. Генеральная совокупность — множество, включающее в себя все однородные объекты, обладающие интересующими качествами. В этом случае для оценки нижней р_н и верхней р" границ вероятности безотказной работы используют биноминальное распределение. При испытаниях п изделий доверительную вероятность 1 — а выхода на каждую из границ принимают равной вероятности появления в одном случае не более т отказов, в другом случае не менее т отказов:

Пример 8.1. Оценить нижнюю границу вероятности р_и при доверительной вероятности, а = 0,9, если испытано три изделия я = 3 и отказало одно т = 1.

Решение. По формуле (8.3).

Окончательно получаем р" = 0,2.

В случае безотказных испытаний из формулы (8.3) при т = 0 следует, что р_н связано с доверительной вероятностью и числом испытанных изделий выражением.

Отсюда.

Пример 8.2. Пусть п = 10; а = 0,7; т = 0. Найти нижнюю границу вероятности р".

Решение. Вероятность.

При больших п и т формулами (8.3) и (8.4) неудобно пользоваться. В этом случае выполняют приближенные вычисления, заменяя биномиальное распределение нормальным с использованием следующих рассуждений. Испытания п изделий рассматриваем как испытания п выборок по одному изделию. Результаты испытаний каждого изделия могут иметь два исхода: х, = 0 — отказ и х₂ = 1 — изделие не отказало. По определению среднее значение случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины (в данном случае 0 и 1) на частоты этих появлений, поэтому.

где р* — частость сохранения работоспособности. При больших п частость стремится к вероятности р. Среднее квадратическое отклонение случайной величины х при испытаниях одного изделия составляет.

а по результатам испытаний п изделий оно в sfn раз меньше, чем S_ix. Поэтому.

Предполагая в силу справедливости центральной предельной теоремы распределение среднего, как суммы, близким к нормальному, формулы для вычислений нижней и верхней доверительных границ можно представить в следующем виде:

где и_а — квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности а.

Приближение нормальным распределением используют, если выполняются два условия:

Пример 8.3. Оценить р_н> р_в, если п = 100, т = 20, а = 0,95.

Решение. Вычисляем.

Следовательно, нормальное распределение можно использовать. При p (t) = а = 0,95 по табл. 1.1 для нормального распределения и_р = и_а = —1,64. Отсюда = -0,0656, поэтому р_н = 0,734, р_й = 0,866.

Определим требуемый объем выборки л, если требуемая вероятность безотказной работы равна р*, заданы доверительный интервал d = р_ъ— р_н и односторонняя доверительная вероятность а. Предполагаем применимость нормального распределения.

Из формул (8.6) и (8.7) следует, что.

отсюда.