Кластерная модель деформации поликристаллического материала

Прежде, чем перейти к модели, явно учитывающей межзеренное взаимодействие, остановимся на вопросе об адекватном описании зеренной структуры поликристаллического агрегата. Известно, что в среднем зерна имеют около 14 непосредственных соседей, поэтому физически оправданным будет представление зерна в виде полиэдра с фасетками, имеющими геометрическую форму двух типов: квадраты и шестиугольники (рис. 3.14). Каждый такой кристаллит имеет 14 непосредственных соседей: восемь из них являются ближайшими, граничащими по фасеткам в форме правильного шестиугольника, а шесть примыкают к граням квадратной формы. Зерна, будучи представлены таким образом, при объединении их в агрегат обеспечивают плотную, без несплошностей, упаковку.

Под действием деформации и весь поликристалл, и составляющие его зерна будут изменять свою форму; характер этого изменения определяется типом пластического воздействия. Как будет показано ниже, такое представление агрегата позволяет при моделировании эволюции текстуры учитывать и ориентации зерен, соседних с рассматриваемым, и его формоизменение под действием пластической деформации. Другая проблема при моделировании деформации поликристалла с учетом его структуры состоит в задании граничных условий. В конечно-элементных моделях принято задавать особые условия для внешних зерен агрегата. В предлагаемой модели во избежание этого используются периодические граничные условия.

Как обычно (см. гл. 1 и 2) процесс пластического деформирования представляется последовательностью дискретных шагов нагружения. Шаг выбирается разумно малым, чтобы воспроизвести реальную эволюцию ориентировок, зависящую от действующих в кристаллитах систем скольжения^[1], без неоправданного увеличения затрат компьютерного времени. На каждом шаге деформации используется итерационная процедура последовательного выбора систем скольжения на основе критерия минимальной несовместности. Принципиальная особенность этой модели состоит в том, что множественное скольжение рассматривается происходящим одновременно и в зерне, и в кристаллитах, непосредственно к нему примыкающих.

На начальной итерации каждого из шагов нагружения осуществляется выбор основной системы скольжения в каждом из зерен агрегата. В соответствии с критерием минимальной несовместности это — система, характеризуемая наибольшим напряжением сдвига под действием внешнего поля напряжений. Иными словами, первой выбирается такая система скольжения, которая ориентирована наиболее благоприятно относительно приложенной к кристаллиту скорости деформации. Если djⁿ⁾ — направляющий тензор основной системы скольжения в «-ом зерне, определенный уравнением (1.5), a D^M — тензор скорости приложенной деформации (макродеформации), то обсуждаемое условие примет вид:

Скорость сдвига в выбранной первичной системе скольжения определяется путем минимизации отклонения скорости деформации n-ого зерна D⁽ⁿ⁾ от D^M:

Таким способом выбираются основные системы во всех зернах модельного поликристалла.

Критерием выбора системы скольжения на второй и последующих итерациях служит условие наилучшей аккомодации несоответствия в скоростях деформации зерна и его непосредственного окружения. Здесь важно заметить, что именно относительная разница в скоростях, а не сама по себе скорость деформации окружения имеет принципиальное значение. При выборе А'-ой системы скольжения в «-ом зерне (А> 2) сначала вычисляется среднее значение скорости деформации в N зернах, окружающих данное^[2], D^Cn. Относительный вклад в среднее от каждого соседнего i-oro зерна пропорционален площади контактной фасетки Sji.

Реализованный в данной модели учет формоизменения состоит в том, что на каждом шаге деформирования определяется новое положение координат вершин полиэдра, и, соответственно, относительный вклад в среднюю скорость деформации окружающих зерен также изменяется по мере нагружения.

Несоответствие в скоростях деформации кристаллита и его окружения, имеющееся к моменту выбора А-ой системы скольжения, вычисляется:

В качестве следующей, ?-ой, системы скольжения выбирается та, что дает наибольшую проекцию суммы скорости макродеформации и невязки в скоростях деформации кристаллита и окружения:

После выбора k-ой системы скольжения происходит перераспределение скоростей сдвига в избранных ранее системах, поэтому из условия минимума отклонения в скоростях деформации зерна и его окружения (6'_kⁿ⁾) вычисляются новые значения скоростей сдвигов:

Последовательное выполнение итераций можно проводить до тех пор, пока невязка скоростей деформации не достигнет заданного уровня. В настоящей работе процедура выбора активных систем скольжения прерывалась на пятой итерации, а не ранее, чтобы избежать проблемы определения допустимого уровня межзеренной аккомодации. Пять действующих систем могут обеспечить любую деформацию, поэтому на момент завершения итерационной процедуры в каждом зерне обеспечивается условие Aj" * = 0.

Произведенные в соответствии с изложенным алгоритмом расчеты показывают, что, хотя и выполняется условие минимальной несовместности между зерном и его окружением на каждой итерации, наблюдается небольшое отставание скорости деформации кристаллита от макроскопической величины D^M. Очевидно, возникает это отставание потому, что при вычислении скоростей деформации зерен согласно уравнениям (3.18−3.20), мы фокусируемся на обеспечении совместности деформации соседей, а не на обеспечении макродеформации. Для разрешения этой проблемы проводится масштабирование. Практически оно заключается в том, что дефор;

.(п) мация каждого кристаллита D s рассчитывается с учетом поправочного множителя а:

где Dj'* — средняя по всему поликристаллическому агрегату скорость деформации после пятой, заключительной, итерации.

Следует подчеркнуть, что при том способе описания множественного скольжения, который изложен выше, возникают различия в скоростях деформации между зернами поликристалла. Тем самым условие наилучшей пластической аккомодации зерна по отношению к его окружению оказывается выполненным без использования допущения Тейлора о деформационной однородности всех зерен поликристалла.

На каждом шаге деформации для всех зерен определяются скорости деформации и скорости сдвига по действующим системам скольжения y⁽_kⁿ⁾

(к= 1…5). Затем через скорости сдвига выражается пластический поворот зерна. Здесь удобнее представить его с помощью вектора скорости поворота w⁽_pⁿ⁾, определяемого, согласно уравнению (1.3):

Предполагается (см. главу 1), что поворот кристаллической решетки w⁽_Lⁿ⁾

от локального ма;

аккомодирует отклонение пластического поворота w⁽_pⁿ⁾ териального поворота (спина) w⁽ⁿ⁾ зерна:

При этом для вычисления поворота кристаллической решетки надо вычислить спин, который, как было показано Зисманом в работе [4], при неоднородной деформации определяется выражением:

где л^{, м} — макроскопический спин^[3], усреднение … проводится по всем фасеткам Sj зерна, внешние нормали к которым — N*; a ADj — скачок скоростей пластической деформации на i-ой фасетке.

С учетом вышеизложенного оказывается возможным определять поворот кристаллической решетки на каждом шаге деформирования и находить измененную ориентировку зерна, тем самым моделируя развитие текстуры.

Прежде, чем перейти к моделированию текстуры, отметим еще одно свойство предложенной модели: исчезновение неоднозначности Тэйлора-Бишопа-Хилла. Действительно, указанная неоднозначность является принципиальной особенностью модели Тэйлора-Бишоиа-Хилла, и ее удается устранить либо путем формальных приемов, не имеющих физического обоснования, либо в рамках моделей, рассматривающих скоростную чувствительной критического напряжения сдвига [147]. Эта особенность не является принципиальной при моделировании макроскопической текстуры и свойств. Однако при рассмотрении локальных механизмов текстурообразования однозначное предсказание ориентации кристаллов становится принципиально необходимым.

Этому, весьма полезному для локальных приложений свойству можно дать следующую интерпретацию. В модели Бишопа-Хилла [21,22] собственное напряжение должно одновременно и равно загружать 6 или 8 систем скольжения кристалла. В нашей же модели скорость деформации кристалла, навязанная ему непосредственным окружением, непостоянна. Она изменяется при выборе каждой следующей системы скольжения (и=1,2,., 5), что и приводит к единственности на каждом этане выбора.

Рис. 3.15. Прямые полюсные фигуры {111} (слева) и {100} (справа) текстуры прокатки модельного ГЦК агрегата; степень обжатия 50%.

Рис. 3.16. Прямые полюсные фигуры {111} (слева) и {200} (справа) текстуры прокатки поликристаллической меди; степень обжатия 50% (данные работы [7]).

Представляет интерес проверить, как неоднородность пластической деформации между зернами, характерная для данной модели, влияет на предсказание макроскопической текстуры. С этой целью было выполнено моделирование эволюции текстуры для поликристаллического агрегата, состоящего из ~5500 зерен полиэдрической формы с хаотическим распределением ориентаций в исходном состоянии. Задаваемая скорость деформации соответствовала прокатке с обжатием 50% (истинная деформация.

0.69). Исходное распределение ориентировок носило случайный характер. На рис. 3.15 приведены прямые полюсные фигуры {111} и {200}, полученные на основании расчета. Наблюдается удовлетворительное согласие с экспериментальными полюсными фигурами (рис. 3.16), полученными для меди, исходное состояние которой было бсстекстурным, при той же степени деформации [148].

В таблице 3.1 представлены доли основных текстурных компонент, вычисленные в пределах отклонения в 15° от идеальных ориентаций, в сравнении с экспериментальными и рассчитанными по модели ТэйлораБишопа-Хилла. Результаты моделирования близки к тейлоровским, а по двум наиболее сильным компонентам наша модель обеспечивает лучшее согласие с экспериментом [148].

Таблица 3.1. Доли (%) основных компонент текстуры прокатки ГЦК поликристалла при обжатии 50%.

Вернемся в заключении этого раздела к вопросу о влиянии локального окружения зерна на эволюцию его микротекстуры. После того, как мы убедились в адекватности макротекстуры, предсказанной с помощью развитой модели, промоделируем с ее помощью влияние локального окружения на «среднюю» переориентацию зерна [146].

Для сравнения с экспериментальными данными, в модельном поликристалле, содержащем, как и в предыдущем тестировании, ~5500 зерен, двум группам зерен были заданы такие же начальные ориентировки, как и в зернах, которые исследовались в разделе 3.2 и были там отнесены к классам, А и В. При моделировании каждая группа содержала 10 несмежных зерен, случайным образом расположенных в агрегате и имеющих исходно одинаковую ориентацию. Рис. 3.17 иллюстрирует возможные (в зависимости от окружения) изменения ориентации оси сжатия для этих двух групп. Хорошо видно, особенно для зерен с начальной ориентировкой В, что изменение ориентации оси сжатия происходит по весьма различающимся траекториям. Так, одно из них в конечном итоге принимает устойчивую ориентацию, другие же переориентируются в иных направлениях. Зерна с исходной ориентировкой, А тоже демонстрируют различный характер переориентации. Причем среди прогнозируемых траекторий можно найти близкие к полученным при моделировании как по Тейлору, так и по Заксу.

Рис. 3.17. Переориентации зерен в ходе деформации сжатием от 0 до 50% (истинная деформация 0.69).

а — экспериментальные данные и данные расчета по Тейлору (обозначения те же, что на рис. 3.10;

брезультаты моделирования.

Представленные на рис. 3.176 результаты позволяют заключить, что предлагаемая модель, воспроизводя механизм пластической аккомодации зерна по отношению к его окружению, демонстрирует существенное влияние локального окружения на поворот решетки зерна, которое качественно согласуется с экспериментом.

Остановимся в заключение на перспективах развития теории и моделирования текстур деформации. Очевидно, что две наиболее существенные проблемы, которые необходимо решать для создания количественной теории тексгурообразования — это учет межзеренного взаимодействия и внутризеренной фрагментации. Их решение осложняется, в частности, тем, что они взаимосвязаны, поскольку фрагментация отчасти обусловлена именно взаимодействием соседних зерен. Предложенная в настоящей работе модель показывает путь к упрощенному решению проблемы взаимодействия, хотя конечно-элементные расчеты являются, по-видимому, в перспективе наиболее мощным инструментом с учетом развития вычислительной техники.

В плане моделирования фрагментации можно отметить две модели. Первая из них рассматривает начальную стадию образования полосовой структуры как зарождения и распространение дисклинационных диполей [149,150]. Это важная составляющая процесса фрагментации, но, как ясно из предыдущего рассмотрения, — только одна составляющая, причем не всегда определяющая эволюцию текстуры. Вторая модель [151] рассматривает фрагментацию как результат накопления пластической кривизны в результате неоднородного поворота решетки зерна. Зерно здесь рассматривается как зажатый в захватах монокристалл. Согласно предложенной схеме, решетка центральной области зерна испытывает реактивный поворот решетки, определяемый иа основе тейлоровской микромеханики (см. раздел 1.2), а по мере приближения к границам, которые в модели играют жестких захватов, поворот постепенно уменьшается. В результате, в процессе деформации внутри зерна возникает пластическая кривизна, которой соответствует определенная плотность геометрически необходимых дислокаций. Эти дислокации, в свою очередь, служат для построения границ фрагментов. Такая модель имеет отношение к частному случаю формирования микротекстуры мягкого зерна, расположенного между двумя жесткими, однако ее также нельзя рассматривать как общую модель фрагментации.

Представляют несомненный интерес и попытки использования метода конечных элементов для воспроизведения фрагментации в условиях компьютерного эксперимента [78,152,153]. Однако более актуальными пока все же являются экспериментальные исследования закономерностей фрагментации и ее взаимосвязи с текстурообразоваиием.

• [1] Вычислительный эксперимент показал, что уменьшение шага деформирования на каком-то этапе теряетсмысл: при переходе от одного шага к другому не меняется комбинация активных систем скольжения.
• [2] Если данный алгоритм реализуется для поликристалла, состоящего из полиэдров, показанных нарис. 3.11, то в окружение каждого из зерен входят 14 кристаллитов.
• [3] Обычно макроскопический спин принимается равным нулю.