Основные законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение. Распределение вероятностей дискретной СВ определяется схемой испытаний (формулой) Бернулли Пример. На электростанции работает четыре однотипных генератора. Вероятность аварийного повреждения каждого из них р = 0,02. Составить закон распределения вероятного числа поврежденных генераторов.

Решение. Число поврежденных генераторов — дискретная СВ. По формуле биномиального распределения (7.14) находим (табл. 7.7).

Таблица 7.7.

Распределение Пуассона¹ позволяет определить вероятность появления дискретной СВ — Р_к (/) наступления ровно к событий за промежуток времени t.

где.

а — параметр закона распределения, являющийся математическим ожиданием числа событий за время /;

Я — интенсивность случайного события.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального распределения при больших п -> оо и малых рэ 0. Тогда М (к) = а = пр.

При проведении большого количества независимых опытов л, в каждом из которых событие А имеет достаточно малую вероятность />, вычисление Р_{п к} проводится по приближенной формуле.

Характерным свойством закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии М (к) — D (к) = о² (к) = X/. Это свойство часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. Определить вероятность того, что за год работы произойдет два отказа силового трансформатора, если известно, что X = 0,01 отк/год.

Решение.

Пример. В СЭС промышленного предприятия происходит в среднем 0,375 отказов в год. Найти вероятность того, что за 8 лет работы число отказов будет не менее 2 и не более 4.

Решение, а = пр = 8 • 0,375 = 3. Р (2 й х? 4) = р₂ + р_ь + р_А. При а =3 и к = 2; к = 3; к = 4 находим:

¹ Симеон Дени Пуассон (1781−1840) — знаменитый французский физик и математик.

Окончательно: Р{2? х <. 4) = 0,225 + 0,225 + 0,169 = 0,619.

Приближение биномиального распределения распределением Пуассона рассмотрим на следующем примере.

Пример. В эксплуатации находится 100 выключателей. Вероятность повреждения одного выключателя в течение года равна р = 0,02. Требуется сравнить вероятности повреждения от 0 до 10 выключателей, вычисленные по биномиальному распределению вероятностей (7.14) и по закону распределения Пуассона (7.15).

Решение. Результаты вычислений представлены в табл. 7.8.

Таблица 7.8.

Для еще больших к вероятность продолжает убывать, что указывает на сходимость этих распределений.

Геометрическое распределение. Эго распределение построено на основе схемы (формулы) независимых испытаний Бернулли при изучении распределения непрерывной серии успехов или неудач при заданном числе испытаний. Вероятность того, что серия успехов будет иметь длину к, а на (к + 1)-м испытании произойдет неудача, определяется по теореме умножения вероятностей и представляет собой геометрическое распределение вероятностей.

где.

р — вероятность успеха;

<7 = 1-/? — вероятность неудачи.

Его числовые характеристики:

Отметим важное свойство геометрического распределения: вероятность успеха в результате ?-го испытания в серии опытов не зависит от номера испытания и от того, какие события и в каком порядке реализовались в предыдущих к — 1 испытаниях. Это означает, что исход данного опыта не зависит от всего протекания процесса испытаний, т. е. подобный процесс обладает свойством отсутствия последействия (.марковским свойством).

Пример. Проводятся профилактические испытания повышенным напряжением КЛ одного напряжения, типа, срока службы, проложенных в одинаковых условиях. Вероятность успешного прохождения испытания р — 0,8. Найти:

а) вероятность того, что первый отказ произойдет после 5 успешных испытаний;

б) определить, сколько в среднем произойдет успешных испытаний до первого неуспешного.

Решение.

Гипергеометрическое распределение. Это распределение описывает вероятность появления ровно к успешных исходов в п испытаниях, когда п не мало по сравнению с объемом совокупности N. Вероятность того, что случайная выборка объемом п содержит ровно к элементов, обладающих свойством D, соответствует гипсргсомстричсскому распределению с параметрами.

Если п значительно меньше N (п <0,N), то гипергеометрическос распределение дает вероятности, близкие к найденным по биномиальному закону.

Еше одним дискретным распределением, используемым в теории надежности, является распределение Паскаля^[1] (отрицательное биномиальное распределение), описывающее число испытаний к по схеме Бернулли, необходимых для получения интересующего исследователя значения ровно г раз.

• [1] Блез Паскаль (1623−1662) — французский математик, физик, литератор и философ, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.