Способы задания множеств

Множество может быть задано различными способами конструирования:

• — прямым перечислением элементов, т. е. в виде списка или таблицы (множество деталей (элементов) какой-либо системы, устройства);
• — указанием общего свойства его элементов (множество рабочих мест, множество трансформаторов, множество выключателей, множество линий электропередачи).

Переход от прямого перечисления элементов к указанию общего свойства называют процессом свертывания.

Пример. Если основными элементами электротехнического устройства являются: сердечник, обмотки, масло, изоляторы, расширитель, корпус и т. д., его можно отнести к множеству трансформаторов.

Надежным способом точно описать свойства элементов данного множества служит задание распознающей {разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, — обладает он данным свойством и, следовательно, является элементом данного множества или нет.

Например, распознающей процедурой при конструировании множества кабельных линий будет задание их типа, номинальных тока и напряжения, дтины, способа прокладки, условий эксплуатации.

Множество всех объектов, обладающих свойством //(*), обозначают как.

При задании множеств могут быть поставлены следующие задачи:

1. Из данного множества объектов посредством распознающей процедуры требуется выделить подмножество.

Например. из множества всех выключателей выделить подмножество выключателей напряжением 10 кВ; при обработке результатов социологического обследования выделить определенную категорию пользователей какой-либо услуги.

2. Из данной совокупности множеств требуется получить новое множество, путем объединения всех элементов этих множеств. Например, если объединить множества всех синхронных двигателей, асинхронных двигателей и двигателей постоянного тока, то получим новое множество — электродвигатели.

Отличают конечные и бесконечные множества, счетные и несчетные. В конечном множестве число его элементов конечно, т. е. существует натуральное число N, являющееся числом элементов множества. Конечное множество всегда ограничено, т. е. существует такое число М, что для любых х, е X и x_Jг е X имеет место d (x"Xj)? М, где d (x, Xj) — «расстояние» между любыми двумя элементами х/иху этого множества. Если бесконечное множество возможно привести в соответствие с натуральным рядом чисел, его называют счетным. Каждое несчетное множество бесконечно. Несчетное множество может содержать счетные подмножества.

Примерами различных типов множеств являются:

• — множество точек графика непрерывной функции — бесконечное, несчетное;
• — множество выключателей электрической системы — конечное, счетное;
• — множество возможных решений, принимаемых при управлении проектом — конечное, счетное;
• — множество режимов электроиотребления крупного промышленного объекта при наличии аналоговых регуляторов нагрузки — бесконечное, несчетное;
• — реальное множество режимов электропотребления того же объекта, учитываемое в конкретных задачах, — конечное, счетное.

Следует отметить, что и многие задачи, решаемые при анализе больших технических систем, оперируют с конечными счетными множествами.

Если множество задано описательным способом, вводятся понятия верхней и нижней границ (граней).

Верхней границей множества S является элемент с, такой, что для любого х е S имеет место х < с.

Нижней границей множества S является элемент с, такой, что для любого х € S имеет место х? с.

Точной верхней границей, или супремумом множества S, обозначаемой sup S, называют верхнюю границу, которая не превосходит любую другую верхнюю границу. Точной нижней границей, или инфинумом множества S, обозначаемой inf S, называют нижнюю границу, не меньшую любой другой нижней границы.

Если В g А, то inf#? т (А; sup#? supA.