Элементы математической логики

Развитию математического аппарата алгебры логики (математической логики) способствовало широкое применение его в решении прикладных задач системного анализа, одной из которых было построение релейно-контактных схем с заданными свойствами. Как известно, реле имеет два устойчивых состояния, поэтому поведение релейных схем хорошо описывается на языке булевых функций (булевой алгебры) (по имени английского математика и логика Джорджа Линкольна Буля (1815−1864), который более 150 лет назад изложил математический подход к вопросам исчисления высказываний).

В математической логике под высказыванием понимается любое предложение, относительно которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности. Высказывания оцениваются только по их истинности или ложности, без учета конкретного содержания. При этом высказывание рассматривается как величина, принимающая два значения: «истина — А = 1» и «ложь — А — 0*.

Два высказывания называют эквивалентными, если их истинностные значения одинаковы. Эквивалентность двух высказываний обозначают знаком равенства: А = 1, В = 1; А = В или А о В.

Каждое конкретное высказывание имеет вполне определенное истинностное значение, но оно может быть и переменным. Переменная величина, которая принимает лишь два значения, называется двоичной переменной.

Например. высказывание С — «электрическая машина работоспособна» — в конкретной ситуации может быть как истинным (С = 1), так и ложным (С= 0).

Высказывания могут быть простыми и сложными.

Простое высказывание относится к событию или состоянию, которые сами не рассматриваются ни как логическая сумма «ИЛИ», ни как логическое произведение «И* других событий или состояний.

Сложное высказывание — это высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний со значениями 0 и 1, соединенных между собой логическими операциями.

Двоичные переменные называются аргументами. Высказывания, истинностные значения которых определяются значениями истинности других высказываний, являются их функциями.

Функции, принимающие лишь два значения (1 или 0) и определяемые раз;

личными наборами двоичных аргументов, называются двоичными функциями или функциями алгебры логики (ФАЛ) [24, 66, 67].

Наиболее распространенные алгебраические операции для двух простых высказываний приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Основные правила преобразования логических выражений позволяют сложные логические функции привести к минимальной форме (табл. 4.2).

Таблица 4.2.

Для упрощения сложных логических выражений используются операции поглощения и склеивания.

Операция поглощения определяется соотношениями:

В соответствии с терминологией теории множеств, подмножество, А поглощается множеством В, если А с В. На рис. 4.10 иллюстрируются соотношения (4.2). Поглощаемые множества заштрихованы, а поглощающие выделены контуром.

Операция склеивания определяется соотношениями.

Рис. 4.10 Графическая иллюстрация операций поглощения:

где использована запись логического умножения без знака конъюнкции. Графическая иллюстрация соотношений (4.3) дана на рис. 4.11.

Рис. 4.11 Графическая ил. иострация операций ск,*еивания: