Математизация физики. 
Философия науки

Нередко под математизацией науки понимают «использование математического языка не только в физике, но и в других науках о природе» [16, с. 83], а также внедрение математических методов в области, ранее весьма далекие от их влияния на экономику, медицину, педагогику, психологию, лингвистику и даже теорию искусства. В настоящей главе мы кратко рассмотрим математизацию именно физики и связанных с ней наук, относящихся к точному естествознанию. Фактически именно в этой сфере накоплен огромный материал, имеются богатая традиция, восходящая к Античности, и ряд фундаментальных философско-методологических проблем.

Математизацию науки мы будем понимать как применение математики для теоретического представления научного знания. При этом речь пойдет не только о вспомогательном, чисто вычислительном аспекте, но и о таком понимании роли математики, когда она является «главным источником представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории» [13, с. 112].

В значительной степени наше рассмотрение проблемы математизации будет носить исторический характер: от Античности до современности.

Первую математическую концепцию природы создали пифагорейцы («все вещи суть числа»), Платон продолжил пифагорейскую традицию, выдвинув на первый план геометрию («Бог всегда является геометром»). Теория материи Платона — это теория правильных многогранников. Аристотель не отрицал значения математики в познании природы, но полагал научные понятия извлеченными из реального мира абстракциями, которые могут быть полезными при описании явлений. Позже, в эллинистический период, Евклид создал первую аксиоматико-дедуктивную систему геометрии, ставшую основой математизации античных оптики, статики и гидростатики (Евклид и Архимед) и астрономии (Птолемей). Впрочем, геометрия «Начал» Евклида и сама по себе была физической теорией, так как рассматривалась ее создателями как результат изучения реального пространства. Но уже в трудах Архимеда, но теории рычага и плаванию тел геометрия используется как готовая математическая структура. По существу, с Архимеда пифагорейская максима «все есть число» заменяется на принцип «все есть геометрия» [18, с. 26]. Античное наследие было сохранено и приумножено (в плане математизации научного знания) арабскими учеными и средневековыми мыслителями. Р. Бэкон, например, считал, что в основе всех наук должна лежать математика. Наиболее впечатляющим достижением математического подхода к астрономии стала гелиоцентрическая система II. Коперника. В Новое время и корифеи точного естествознания (И. Кеплер, Г. Галилей, X. Гюйгенс, И. Ньютон), и философы (Ф. Бэкон, Р. Декарт, Г. В. Лейбниц) считали математику (геометрию) «прообразом мира» (ср. с лейбницевским: «Сит Dens calculate fit Mundus», т. е. «Как Бог вычисляет, так мир и делает»). Однако развитие механики и гидростатики в XVI в. (особенно С. Стевином) и в XVII в. (Г. Галилеем и Б. Паскалем) демонстрирует сохранение архимедовского типа математизации: евклидова геометрия продолжает оставаться определяющей математической структурой.

Ньютон в «Математических началах натуральной философии» говорил о «подчинении явлений законам математики», и хотя он использовал языкгеометрии, для формулировки законов механики ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисления. Впервые был осуществлен прорыв за пределы евклидовой геометрии как математической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена, Л. Эйлера классическая механика предстала как теория обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.

В дальнейшем были выявлены и другие математические представления механики, положившие начало феномену аналитической механики (Ж. Л. Лагранж), нацеленному на изучение математических структур классической механики. Оказалось, что ее можно сформулировать как вариационное исчисление (Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж, У. Р. Гамильтон, К. Г. Якоби, М. В. Остроградский), как теорию дифференциальных уравнений с частным производным первого порядка (У. Р. Гамильтон, К. Г. Якоби, С. Ли), как риманову геометрию (К. Г. Якоби, Р. Липшиц, Г. Дарбу, Г. Герц), как симплектическую геометрию (Ж. Л. Лагранж, У. Р. Гамильтон, М. В. Остроградский, С. Ли). Эти отождествления оказали решающее воздействие на развитие математики в XIX в. и выявили структурно-математическую мощь классической механики (в соответствии с «математическим» критерием эффективности исследовательской программы И. Лакатоса мощь программы определяется степенью ее влияния на развитие математики; этот критерий имеет родство с критерием «хорошей» теории Р. Фейнмана, согласно которому качество теории определяется возможностью ее представления на языке различных эквивалентных математических формализмов). Лагранжев, гамильтонов и другие формализмы аналитической механики обнаружили удивительную живучесть, сыграв важную роль в создании квантовых и релятивистских теорий XX в. Кстати говоря, аналитическая механика стала первым образцом математической физики, которая, в отличие от теоретической физики, во главу угла ставит исследование математических структур физики.

Классико-механическая программа (и соответствующая картина мира) открыла описанный выше способ математизации точного естествознания, который, несмотря на значительное количество приверженцев от П. С. Лапласа до Г. Гельмгольца и Дж. Максвелла, оказался весьма ограниченным. Физика (как наука о свете, теплоте, электричестве и магнетизме), которая, за небольшим исключением, до начала XIX в. не имела теоретического оформления, подобного классической механике, потребовала привлечения нового типа математизации. Решающим поворотом стало интенсивное использование математического анализа для представления элементарных феноменологических соотношений в теоретической форме, не сводящейся к классической механике. На этом пути в первой четверти XIX в. были созданы (в основном усилиями французских ученых С. Д. Пуассона, Ж. Б. Фурье, А. М. Ампера, О. Френеля, С. Карно и др.) математическая электростатика, теория теплопроводности, элементы термодинамики, электродинамика, волновая оптика |8|.

В 1860—1870-х гг. создание классической физики, сопряженное с ее математизацией, в основном было завершено (теория электромагнитного поля Дж. Максвелла, термодинамика В. Томсона и Р. Клаузиуса, основы статистической механики Дж. Максвелла и Л. Больцмана). Математический анализ, и прежде всего теория дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, оставался основной математической структурой классической физики. Но вместе с тем важными дополнительными инструментами ее математизации стали векторное исчисление и теория вероятностей. В кристаллографии получила применение теория групп. К концу XIX в. выявилась фундаментальная особенность основных дифференциальных уравнений классической физики — их вариационная структура, т. е. возможность их получения на основе вариационного исчисления (из вариационных принципов, прежде всего, принципа Гамильтона). Забегая вперед, подчеркнем, что и фундаментальные дифференциальные уравнения движения (поля), фигурирующие в квантовой механике, общей теории относительности, квантовой теории поля и элементарных частиц (т.е. уравнения Шрёдингера, Эйнштейна, Дирака и др.)" как выяснилось впоследствии, также выводимы из вариационного принципа. Вариационность основных уравнений физики позволяет связать основные законы сохранения с симметриями (группами инвариантности) соответствующих теорий в духе знаменитой теоремы Э. Нетер [8|.

Математизация других естественных наук осуществлялась через посредство физики и классической механики (небесная механика, астрофизика, некоторые разделы химии и др.). А. Пуанкаре на рубеже XIX и XX вв. связал математико-аналитическую (т.е. опирающуюся на математический анализ и дифференциальные уравнения) природу классической физики с ее локальностью и однородностью. В результате знание элементарного факта позволяло получить описание процесса посредством дифференциальных уравнений, интегрирование которых вело к описанию множества наблюдаемых явлений. Отсутствие в биологии характерных для физики локальности, однородности, простых элементарных соотношений, согласно Пуанкаре, препятствовало математизации биологических наук [8].

Научная революция, произошедшая в физике в первой трети XX в., существенно изменила взаимоотношения физики и математики. Кроме того, математика сыграла существенную роль в самой этой революции.

Прежде всего, при построении теории относительности, особенно общей, и квантовой механики в полной мере проявилась опережающая роль математики. В отличие от классики, в которой математике (дифференциальным уравнениям) предшествовало установление связи физических понятий с математическими величинами, при разработке релятивистских и квантовых теорий отыскание адекватной математической структуры опережало ее физическое осмысление. Так, при создании общей теории относительности сначала была найдена риманова структура пространства-времени и тензорно-геометрическая концепция гравитации и только после этого была прояснена собственно физическая сторона дела. При создании квантовой механики также сначала были установлены математические основы теории (например, уравнение Шрёдингера для волновой функции, физический смысл которой оставался неясным), и только после этого была развита физическая интерпретация теории (вероятностная трактовка волновой функции, принципы неопределенности и дополнительности). Именно эти достижения теоретической физики позволили говорить о «предустановленной гармонии» между математикой и физикой (Г. Минковский, Ф. Клейн, Д. Гильберт, А. Эйнштейн и др.) или о «непостижимой эффективности математики в естественных науках» [6]. В какой-то степени это выглядело как возрождение пифагорейско-платоновской концепции математизации научного знания или его более современного варианта — в духе Кеплера, Ньютона и Лейбница.

Если классическая физика выглядела с математической точки зрения, прежде всего, как теория дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и, соответственно, математико-аналитическая структура была определяющей, то в неклассической науке на передний план выдвинулись теория групп преобразований и их инвариантов, дифференциально-геометрические структуры и функциональный анализ. Важное значение сохраняли также теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление, с помощью которых формулировались законы движения, а также теория вероятностей, позволяющая корректно сформулировать понятие состояния в статистической и квантовой механике. Теоретико-инвариантный подход, ставший после создания специальной теории относительности мощным и универсальным средством построения теории, означал распространение «Эрлангенской программы» Ф. Клейна на физику, иначе говоря, вел к пониманию научных теорий, прежде всего, как теорий инвариантов некоторых лежащих в их основе фундаментальных групп симметрии [11]. Общая теория относительности привела впервые к геометризации физического взаимодействия (именно гравитации) на языке теории римановых искривленных пространств. Переход от классики к квантам соответствовал переходу к бесконечномерному гильбертову пространству состояний и самосопряженным операторам, т. е. переходу от обычного анализа к функциональному анализу. Дальнейшее развитие во второй половине XX в. вводило в оборот такие разделы, как геометрия расслоенных пространств, топология, бесконечномерные алгебры Ли и т. д.

Триумфы интенсивной математизации в создании неклассической физики привели к такому пониманию роли математики, когда она рассматривается не только как средство количественного описания явлений, но и как генератор фундаментальных физических понятий и теоретических построений. Вплоть до настоящего времени надежды на прорыв в фундаментальной физике теоретики связывают с поиском математических структур, математических образов, ранее не связывавшихся с реальностью [14]. По существу, это близко к методу математической гипотезы, важность которого в неклассической физике подчеркивал еще С. И. Вавилов [4].

Несмотря на устойчивую традицию считать упомянутую выше «предустановленную гармонию» символом веры теоретиков либо ключевым «эмпирическим законом эпистемологии» и поэтому избегать поиска оснований этой гармонии, есть несколько перспективных подходов к ее объяснению (истолкованию).

Первый — историко-научный — опирается на эстафетную модель развития физики (естествознания) и математики Д. Гильберта, согласно которой эта эффективность основана «на… повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом» [12, с. 17]; на том, что математические концепции в своих истоках восходят к внешнему миру, физической реальности, развиваясь затем относительно автономно до мощных абстрактных теорий, которые, в свою очередь, оказываются удивительно подходящими для описания новых пластов естествознания, как бы возвращая ему долг [11 ]. Существует подход, основанный на резонном замечании об определенном родстве (или даже совпадении) некоторых основных методологических принципов физики и математики [16]. Таковыми, например, являются принципы симметрии (инвариантности), сохранения, соответствия и др. В «предустановленной гармонии» между физикой и математикой, конечно, присутствует эстетический момент. Иногда даже полагают, что целесообразно ввести понятие «математическая красота» физических теорий и что именно с ним связана эта гармония [5]. В процессе математизации происходит своего рода «естественный отбор» эффективных структур, и именно с ними ассоциируется понятие математической красоты. С этим отбором может быть связано стремление теоретиков выбирать задачи, имеющие «красивые решения». Само понятие, или чувство, «математической красоты» эволюционировало от закономерностей целых чисел и правильных многогранников к евклидовой геометрии и от нее к математическому анализу и дифференциальным уравнениям, а затем от них — к теории групп, дифференциально-геометрическим структурам и функциональному анализу. Известны также попытки связать «предустановленную гармонию» между физикой и математикой с устройством нашего мозга, с физико-математической природой нашего мышления (сознания) [17].

Конечно, возможна переоценка математического начала при разработке научных теорий, когда надежды на «математическое решение» научных проблем не оправдываются. Так произошло, например, при попытках построения единой теории поля, основанных на использовании более общих геометрий, чем риманова. Несмотря на элегантные и мощные геометрические методы, из-за отсутствия физических оснований для геометризации электромагнитного поля эти попытки оказались безуспешными [7].

При этом едва ли следует опасаться так называемого пифагорейского синдрома (выражение Р. А. Аронова), истолковываемого как неоправданное отождествление математических форм и теоретических структур с формами и структурами объективного мира [3]. Оправданием такого отождествления является успех теории (так было при создании общей теории относительности и квантовой механики). Если отождествление не ведет к успеху, соответствующая математическая гипотеза отбрасывается. Однако не оправдавшиеся на данном этапе математические структуры могут не только быть ценными для математики, но оказаться полезными и при последующем развитии физической теории. Таковыми, например, оказались геометрия Вейля и пятимерное обобщение римановой геометрии, не приведшие к успешному решению проблемы единой теории поля, но ставшие источниками таких важных физических концепций, как калибровочная трактовка поля и идея многомерного пространства [7].

Научно-техническая революция 1940—1960;х гг., или переход к «Большой науке» («big science»), связанная с освоением ядерной энергии и космического пространства, созданием компьютеров, лазеров и т. п., привела к новой волне математизации естественных и технических наук, внесшей, в свою очередь, значительный вклад в эту революцию. Ключевым достижением здесь было создание электронных цифровых машин (компьютеров) и концепции вычислительного эксперимента, радикально расширивших масштабы математизации, включив в ее сферу не только задачи управления и экономики, но отчасти и гуманитарные науки.

11а стыке различных наук во второй половине XX в. сформировалось новое синтетическое направление математизации науки, получившее название синергетики, или нелинейной динамики, в котором центральное место заняли нелинейные задачи, процессы самоорганизации и стохастизации динамики. С одной стороны, в рамках этого направления удалось решить ряд важных задач физики и техники, а также математизировать важные разделы химии, биологии и социальных наук; с другой — это привело к новым импульсам для развития математики (нелинейные дифференциальные уравнения, фрактальная геометрия, теория особенностей дифференцируемых отображений и т. д.) |19|.

Математизации физики сопутствует нередко обратный процесс — физикализация математики. Это выражается, с одной стороны, в содержательности и плодотворности математических концепций, порожденных физикой [2]. С другой стороны, теоретическая физика иногда побуждает математиков к преобразованию даже оснований математики [15].

Математизация научного знания внедряется и в методологию и философию науки. Интересным и важным примером такого рода является подход Л. Д. Фаддеева к одному из основополагающих методологических принципов физики — принципу соответствия, а также концепция научной революции. Используя язык математической теории деформации алгебраических структур, каковыми, в частности, являются фундаментальные группы физических теорий (скажем, группы Галилея — Ньютона и группа Пуанкаре), а переходы между ними рассматривая как деформации, он приходит к выводу о том, что переход от классики к неклассике или «две главные революции в физике… с точки зрения математики являются деформациями неустойчивых структур в устойчивые» [20, с. 151. При этом под устойчивой, согласно Л. Д. Фаддееву, следует понимать такую структуру, все близкие деформации которой ей эквивалентны. С этой точки зрения, классическая механика «дважды неустойчива» — но постоянным скорости света и Планка, являющихся в данном случае параметрами деформаций.

Спорным является вопрос о том, считать ли математизацию одним из методологических принципов физики, наряду с принципами симметрии, соответствия и др. [1; 16], или рассматривать ее как отдельную общую черту теоретизации научного знания [10]. Независимо от ответа на этот вопрос следует признать, что математизация всегда была и продолжает оставаться главным и эффективнейшим средством теоретизации научного знания, развитие которого оказывает мощное воздействие на саму математику. При этом приходится констатировать, что проблема математизации науки относится к числу важнейших проблем методологии науки, требующих дальнейшего исследования.

В заключение хотелось бы в числе важных работ по рассматриваемой проблеме, помимо уже цитированных, упомянуть работы И. С. Алексеева, Л. Б. Баженова, С. В. Илларионова, С. В. Котиной, А. А. Печенкина, Э. М. Чудинова, в разное время работавших или работающих и сейчас на кафедре философии МФТИ.

Вопросы для самоконтроля

• 1. В чем заключается пифагорейская концепция естествознания? Какую роль в описании природы приписывали математике Платон и Аристотель?
• 2. Как сформировалась евклидова геометрия и как она стала основой теоретизации естествознания (прежде всего, статики и гидростатики)?
• 3. Каково соотношение геометрии и математического анализа, а «Началах» И. Ньютона?
• 4. В чем заключаются «феномен аналитической механики в физике» и проблема эквивалентных формализмов?
• 5. Сыграл ли математический анализ существенную роль в формировании классической физики? Правомерно ли рассматривать физические теории прежде всего как теории дифференциальных уравнений?
• 6. Каково место математики в квантово-релятивистской революции? Можно ли говорить об опережающей роли математики в создании релятивистских и квантовых теорий?
• 7. Как возникли теоретико-инвариантный подход в физике XX в. и, соответственно, понимание физических теорий как теорий инвариантов групп симметрии, лежащих в их основе?
• 8. В чем состоит «непостижимая эффективность математики в естественных науках» (Ю. Вигнер)?
• 10. Можно ли говорить о компьютерном этапе математизации физики? Каковы особенности вычислительной физики?

Использованная литература.

• 1. Акчурин, И. А. Математизация как принцип единства физических теорий / И. А. Акчурин // Методологические принципы физики / отв. ред. Н. Ф. Овчинников и Б. М. Кедров. — М.: Наука, 1975.
• 2. Арнольд, В. И. Математика и физика: родитель и дитя или сестра / В. И. Арнольд // Успехи физических наук. — 1999. — № 12.
• 3. Аронов, Р. А. Пифагорейский синдром в науке и философии / Р. А. Аронов // Вопросы философии. — 1996. — № 4.
• 4. Вавилов, С. И. Старая и новая физика / С. И. Вавилов // История и методология естественных паук. — Вып. III. Физика. — М.: Изд-во МГУ, 1965.
• 5. Вайнберг, С. Мечты об окончательной теории: физика в поисках самых фундаментальных законов природы / С. Вайнберг. — М.: УРСС, 2004.
• 6. Вигнер, Е. Этюды о симметрии / Е. Вигнер. — М.: Мир, 1971.
• 7. Визгни, В. П. Единые теории в первой трети XX в. / В. П. Визгни. — М.: Наука, 1985.
• 8. Визгин, В. П. Математика в классической физике // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: Физика XIX в. / В. II. Визгин. — М.: Наука, 1995.
• 9. Визгин, В. П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике / В. П. Визгин. — М.: Наука, 1972.
• 10. Визгин, В. П. Размышления о методологических принципах физики / В. П. Визгин // Философия науки в историческом контексте: сб. статей в честь 85-летия Н. Ф. Овчинникова. — СПб.: РХГИ; ИД СнбГУ, 2003.
• 11. Визгин, В. П. «Эрлангенская программа» и физика/ В. П. Визгин. — М.: Наука, 1975
• 12. Гильберт, Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта / Д. Гильберт; под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969.
• 13. Дайсон, Ф. Математика в физических науках // Математика в современном мире / Ф. Дайсон; под ред. В. А. Успенского. — М.: Мир, 1967.
• 14. Манин, Ю. И. Математика и физика / Ю. И. Манин. — М.: Знание, 1979.
• 15. Неструев, Дж. Гладкие многообразия и наблюдаемые / Дж. Нсструсв. — М.: МЦНМО, 2000.
• 16. Овчинников, Н. Ф. Принципы теоретизации знания / Н. Ф. Овчинников. — М.: Агро-принт, 1996.
• 17. Пенроуз, Р. Большое, малое и человеческий разум / Р. Пенроуз [и др.|. — М.: Мир, 2004.
• 18. Погребысский, И. Б. Математические структуры и физические теории (От Архимеда до Лагранжа) / И. Б. Погребысский // Вопросы истории естествознания и техники. — 1970. — Вып. 2 (31).
• 19. Трубецков, Д. И. Введение в синергетику. Хаос и структуры / Д. И. Трубецков. — М.: УРСС, 2004.
• 20. Фаддеев, Л. Д. Математический взгляд на эволюцию физики /Л. Д. Фаддеев // Природа. — 1989. — № 5.

Рекомендуемая литература.

Акчурин, И. А. Математизация как принцип единства физических теорий / И. А. Акчурин // Методологические принципы физики / отв. ред. Н. Ф. Овчинников и Б. М. Кедров. — М.: Наука, 1975.

Баженов, Л. Б. Философия естествознания /Л. Б. Баженов [и др.|. — Вып. 1. — М.: Изд-во полит, лит., 1966. — Гл. VI, VII.

Вигнер, Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках / Е. Вигнер // Этюды о симметрии. — М.: Мир, 1971.

Визгин, В. П. Математика в квантово-релятивистской революции / В. П. Визгин // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: Физика XX в. — М.: Янус-К., 1997.

Визгин, В. П. Математика в классической физике / В. П. Визгин // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: Физика XIX в. — М.: Наука, 1995.

Математика и опыт / под ред. А. Г. Барабашева. — М., 2002.

Стили в математике. Социокультурная философия математики / под ред. А. Г. Барабашева. — СПб., 1999.