Задача ползучести для тел из полимерных материалов

В параграфе 1.3 приведены физические зависимости для вязкоупругих материалов, основанные на обобщенном уравнении Максвелла. Применимость этих зависимостей для линейных и жестких сетчатых полимеров подтверждена многочисленными экспериментальными исследованиями, проведенными в Лаборатории армированных стеклопластиков ИХФ РАН под руководством А. Л. Рабиновича [27] и его учеников. При рассмотрении одномерных задач ползучести (иод одномерностью подразумевается зависимость всех функций от одной пространственной координаты — радиуса) упомянутые зависимости существенно упрощаются. Приведем здесь для удобства основные соотношения, справедливые как в полярных, так и в цилиндрических и сферических координатах.

Деформации ползучести, называемые в полимерах высокоэластическими деформациями и отмеченные звездочкой в предыдущих параграфах, при наличии спектра времен релаксации представляются суммами.

В соответствие с уравнением (1.19) для скоростей высокоэластических деформаций справедливы равенства.

где.

В этих формулах E_txs — модуль высокоэластичиости s-й составляющей деформации; с_г|) — среднее напряжение, равное.

Здесь, как и ранее, введены сокращенные обозначения задач о плоском напряженном и плоском деформированном состоянии, а также центрально симметричной задачи.

Функция г)*, входящая в равенства (8.21), — коэффициент релаксационной вязкости, вычисляемый по формуле (1.20). Если предположить, что /_й" > f* (результаты подтверждают справедливость такого предположения), то получим следующее выражение для ц':

где г)"_к — коэффициент начальной релаксационной вязкости; m_s — модуль скорости деформации. Зависимость коэффициента релаксационной вязкости гр от функции /₉‘" которая выражается через напряжения и поэтому не является постоянной величиной, определяет физическую нелинейность задачи.

Обычно в расчетах принимают во внимание два члена спектра времен релаксации, или две составляющие высокоэластической деформации: «старшую» — е*, и «младшую» — е*₂ (i — г, 0). При этом «старшая» составляющая играет превалирующую роль в кратковременных процессах, а «младшая» — в длительных.

Ниже рассматривается задача, в которой неоднородность как упругих, так и релаксационных параметров обусловлена температурным полем.

Ползучесть цилиндра при температурных нагрузках Характерной особенностью температурных задач для элементов конструкций из полимерных материалов является сильная зависимость всех механических характеристик от температуры. Таким образом, даже при относительно небольших градиентах температурного поля необходимо решать задачу механики с учетом неоднородности материала.

Рассмотрим задачу расчета толстостенного цилиндра, находящегося в осесимметричном температурном поле, определяемом следующими граничными и начальными условиями:

В соответствии с условиями (8.24) на внешней поверхности цилиндра в течение всего времени поддерживается постоянная температура Т₀, а внутренняя поверхность сначала нагревается (в течение времени ?,), а потом ее температура также поддерживается постоянной. Если задать конечную температуру внутренней поверхности цилиндра Т_х, то время нагрева можно определить по формуле ?, = (Г, — Т₀)/р, где (3 — скорость нагрева.

Процесс является нестационарным до некоторого момента времени t₂ > t_v пока нс установится окончательное распределение температуры вдоль радиуса. Па рис. 8.1 приведены результаты численного решения уравнения (1.26) [351, полученного в предположении постоянства коэффициента температуропроводности при следующих исходных данных: а = 8 мм; b = 28 мм; Г₀ = 28 °C; Г, = 100 °C; р = 60 град/ч. Из приведенных зависимостей можно сделать вывод, что стабилизация температурного поля происходит при времени ?₂ = 3,6 ч.

Предполагая цилиндр достаточно длинным, будем считать, что в нем осуществляется плоское деформированное.

Рис. 8.1. Распределение температуры в цилиндре в различные моменты времени:

1 -г = 0,4ч;2-*= 1,2ч;3-Г = 3,6ч;4-Г= 100 ч состояние, для которого справедливо разрешающее уравнение в перемещениях (8.11). Рассматривая кратковременный процесс (до t ~ 100 ч), ограничимся в расчетах только «старшей» составляющей высокоэластической деформации.

Ниже приводятся результаты решения задачи ползучести цилиндра из эпоксидной смолы ЭДТ-10. Для этого материала зависимости механических характеристик от температуры исследованы в фундаментальной работе [5|. Учитывая незначительное изменение в рассматриваемом интервале температур коэффициента Пуассона v и коэффициента линейного температурного расширения а, будем полагать их постоянными и равными v = 0,3; а = 8 -10 ' 1/°С. В упомянутой работе для ЭДТ-10 приведены следующие эмпирические зависимости от температуры модуля упругости п релаксационных характеристик, соответствующих «старшей» составляющей высокоэластической деформации:

Здесь Т_к — температура в градусах Кельвина.

На рис. 8.2 и 8.3 показано изменение вдоль радиуса этих характеристик для некоторых моментов времени. Цифровые обозначения на этих и последующих рисунках такие же, как.

Рис. 8.2. Изменение модуля упругости Е (сплошные линии) и модуля высокоэластичности Е_х (пунктирные линии) в цилиндре для различных моментов времени.

Рис. 83. Изменение коэффициента начальной релаксационной вязкости (сплошные линии) и модуля скорости т (пунктирные линии) в цилиндре для различных моментов времени и на рис. 8.1. Следует обратить внимание на то, что за исключением модуля упругости все остальные характеристики материала стабилизируются уже к моменту окончания нагрева внутренней поверхности цилиндра при t = 1,2 ч.

Как будет показано ниже, учет в расчетах относительно небольшого по сравнению со всем процессом времени нагрева является существенным, поскольку происходящее в этот период повышение температуры существенно ускоряет процесс ползучести с самого начала. Расчет проводился численным методом, описанным в параграфе 8.2.

Рис. 8.4. Распределение напряжений ст₉ в цилиндре для различных моментов времени:

пунктирная линия — упругое решение На рис. 8.4 показаны эпюры напряжений а₀ для некоторых моментов времени. Там же для сравнения приведена эпюра напряжений, полученная по упругому решению и соответствующая времени окончания нагрева (? = 1,2 ч). Отметим следующие результаты. В начальный период в процессе нагрева напряжения увеличиваются, что естественно, поскольку возрастают температурные нагрузки. Затем в процессе ползучести цилиндра происходит значительная релаксация напряжений как в растянутой, гак и в сжатой зонах. При этом если при t > 3,6 ч распределение температуры вдоль радиуса остается неизменным (см. рис. 8.1), то релаксационный процесс продолжается, что приводит к еще большему снижению напряжений.