Расчет статической характеристики по структурной схеме измерительного устройства

Весьма распространенной является следующая задача: определить прямую (4.1) или обратную (4.2) статическую характеристику ИУ, если известны его структурная схема и статические характеристики всех его звеньев (прямые или обратные). Эту задачу можно решать графическим или аналитическим методами, вручную или с помощью компьютера. Выбор метода решения задачи зависит от типа структурной схемы ИУ, состава исходных данных, требований к результатам расчета и пр.

Наиболее просто задача решается в случае, когда структурная схема И У представлена одним из типовых соединений звеньев: последовательным, параллельным или встречно-параллельным (см. рис. 2.4). В этом случае применяется соответствующая формула из табл. 4.2. Из этой таблицы видно, что функция преобразования цепи последовательно соединенных звеньев является сложной функцией (функцией от функции) входной переменной х. Функция преобразования ИУ, состоящего из N параллельно соединенных звеньев, является результатом алгебраического сложения функций преобразования этих звеньев, т. е.

причем знак каждого слагаемого указывается на соответствующем входе сумматора (по умолчанию этот знак считается положительным).

Таблица 4.2

Статические характеристики типовых соединений звеньев ИУ.

Функция преобразования ИУ с обратной связью определяется из неявно заданного уравнения.

знак «плюс» в котором соответствует положительной обратной связи, а знак «минус» — отрицательной. Решая это уравнение относительно переменной у или относительно переменной х, можно определить, соответственно, прямую или обратную статическую характеристику ИУ. В работах [4, 28] приведены примеры таких расчетов.

При комбинированном соединении звеньев расчет можно выполнять поэтапным методом или методом исключения промежуточных переменных.

В первом случае задача решается в несколько этапов, на каждом из которых определяется статическая характеристика группы звеньев, имеющих какое-либо типовое соединение. В результате структурная схема ИУ постепенно приводится к одной из типовых схем, показанных в табл. 4.2. Подобный процесс преобразования структурной схемы И У называют ее «сворачиванием». Он затруднен, если в структурной схеме ИУ имеются перекрестные связи. В этом случае применяют правила преобразования структурных схем [20].

При использовании метода исключения промежуточных переменных составляется система алгебраических уравнений, описывающая структурную схему ИУ. Она состоит из уравнений звеньев и уравнений связей, т. е. уравнений элементов, связывающих звенья структурной схемы И У (сумматоров, сравнивающих устройств и пр.). Общее число уравнений этой системы на единицу больше числа входящих в нее переменных, которыми являются входной и выходной сигналы ИУ, а также все промежуточные переменные, т. е. все переменные, «заключенные» между переменными х и у (это правило используется для контроля правильности расчетов). Исключая из этой системы уравнений промежуточные переменные, можно определить зависимость у от х или х от г/, т. е. найти прямую или, соответственно, обратную статическую характеристику ИУ. Покажем пример такого расчета.

Пример 4.1.

Определить статическую характеристику ИУ, структурная схема и статические характеристики звеньев которого показаны на рис. 4.3.

Рис. 43. Структурная схема ИУ.

Решение

Структурная схема ИУ допускает выделение групп звеньев с типовыми соединениями. Поэтому для решения задачи воспользуемся поэтапным методом.

На втором этапе определим статическую характеристику группы II звеньев 1 и 3, имеющих типовое последовательное соединение. В соответствии с формулами п. 1 табл. 4.2 можно записать.

На нервом этапе определим статическую характеристику группы I звеньев 1 и 2, имеющих типовое параллельное соединение. В соответствии с (4.17) можно записать.

По завершении двух этапов структурная схема И У оказывается приведенной к схеме типового встречно-параллельного соединения звеньев 2 и 4 с отрицательной обратной связью. Поэтому на последнем (третьем) этапе имеется возможность определить искомую общую статическую характеристику ИУ из уравнения (см. (4.18)).

С учетом (4.19) это уравнение приводится к виду.

Из полученного уравнения сложно получить в явном виде зависимость у от х, так как для этого нужно решать кубическое (относительно переменной у) уравнение. Гораздо проще, решая квадратное (относительно переменной х) уравнение, определить зависимость х от у, т. е. найти обратную статическую характеристику ИУ х = i (y). Из двух возможных решений, показанных на рис. 4.4, а, выбираем то решение, которое нулевому сигналу на входе И У ставит в соответствие нулевой выходной сигнал (см. сплошную кривую на рис. 4.4, а).

Рис. 4.4. Статическая характеристика ИУ:

а — обратная; б — прямая Это решение имеет вид.

Повернув на 90° систему координат, можно получить график прямой статической характеристики ИУ у = f (x) (рис. 4.4, б).

Покажем решение рассматриваемой задачи методом исключения промежуточных переменных. Для этого составим систему уравнений, описывающих структурную схему ИУ (см. рис. 4.3).

Первые четыре уравнения этой системы — уравнения звеньев, последние два — уравнения связей. Общее число уравнений на единицу меньше семи неизвестных величин: х, x_x, y_vy₂, г/₃, г/₄, г/, среди которых величины x_v у_ХУ у_2У г/₃, г/₄ — промежуточные переменные. Полагая у известной величиной и решая эту систему уравнений относительно переменой х, найдем зависимость х от у. Результат совпадает с выражением (4.21).

Если статические характеристики звеньев ИУ заданы графиками Г, то график Г общей статической характеристики ИУ можно определить графическим способом (рис. 4.5).

В случае последовательного соединения звеньев нужно для каждого значения переменной х графически определить соответствующие значения выходных переменных всех звеньев, вплоть до переменной у. При наличии только двух звеньев для этого достаточно использовать три квадранта прямоугольной системы координат (рис. 4.5, а), при наличии трех звеньев — четыре квадранта (рис. 4.5, б). Если звеньев более трех, то построения ведутся в несколько этапов: сначала на одном графике определяется статическая характеристика первых трех звеньев, затем аналогичные построения продолжают для четвертого и пятого звеньев, рассматривая первые три звена как одно звено с характеристикой, найденной на предыдущем этапе и т. д.

Статическая характеристика ИУ, состоящего из двух параллельно соединенных звеньев, получается в результате алгебраического (с учетом знаков) сложения кривых Т_{ и Г₂. Этот способ применим при любом числе звеньев ИУ.

При определении статической характеристики ИУ с обратной связью сначала в одной системе координат строятся характеристики звена прямой связи (кривые Г_х на рис. 4.5, в, г) и звена обратной связи (кривые Г₂ на рис. 4.5, в, г). Если обратная связь отрицательная, то статическая характеристика ИУ получается в результате суммирования абсцисс точек, лежащих на этих кривых и соответствующих фиксированным значениям переменной у (рис. 4.5, в), статическая характеристика ИУ с положительной обратной связью — в результате вычитания абсцисс таких точек (рис. 4.5, г).

При комбинированном соединении звеньев подобные построения выполняются поэтапным методом.

Рис. 4.5. К построению статической характеристики типовых соединений звеньев ИУ:

а — двух последовательно соединенных звеньев; б — грех последовательно соединенных звеньев; в — цепи параллельно соединенных звеньев; г, д — цепи встречно-параллельно соединенных звеньев с отрицательной (г) и положительной (г)) обратной связью.