Некоторые предельные теоремы

Как и в обычной вещественной теории вероятностей, тесты V и V из примеров 3.1, 3.2 связаны с некоторыми предельными теоремами для р-адической вероятности. Пусть V = (П, J-_cyi, Р) — вероятностное пространство, основанное на равномерном р-адичсском распределении вероятности Р, заданном на алгебре T_cyi — цилиндрических множеств пространства П = Х°°, р ф 2. Для о; 6 П, положим 5"(о;) = wif • • • + а/". Теорема 4.1. Для каждого I € N вероятность

в пространстве Q_;), когда |гс — М_р(п)_р —> 0, п ф М_р(п).

Доказательство. Используя рассуждения из примера 3.1, получим, что

В частном случае, получаем следующие предельные теоремы. Следствие 4.1. Для каждого натурального I, вероятность

в пространстве Q_p, когда |п|_р —> 0.

Следствие 4.2. (см. [65]) Для каждого патуральтго I, вероятности

стрелттся к нулю в пространстве Q_;), когда п— 1|_р стремится к нулю.

Формально можно интерпретировать следствие 4.2 следующим образом. Сумма S_n(ш) может рассматриваться как сумма S"(lo) = ?i (u;)H——-h.

?,_n(w) независимых одинаково распределённых случайных величин fj (w), принимающих значения 0 или 1 с вероятностями ½. Согласно следствию 4.2, распределение вероятностей случайной величины Sn_m(uj) = lim_n_n S_n(oj) сосредоточено в точках а о = 0 и точках ai = 1 пространства Q,. По соображениям симметрии, вероятность P. s-«_m({"o}) = Ps_(im ({"i}) = ½. Безусловно, это лишь формальное утверждение, так как следствие 4.2 даёт сходимость только для сфер пространства Q_p.

Теорема 4.2. Вероятность

когда п — М_р(п)_р -" 0.

Как и в случае с теоремой 4.1, мы можем, к примеру, положить М_р(п) = 0 или Мр (п) = 1 и получить следующие следствия теоремы 4.2:

Следствие 4.3. Вероятность

в пространстве Q_p, при |п|_р —> 0.

Следствие 4.4. Вероятность

при п — 1|_р —> 0.

Заметим, что.

Значит, согласно следствиям 4.1 и 4.3, получаем, что п_р —ь О, для любого гп € N. Отсюда, формально, мы получаем, что распределение вероятностей Ps, _{случайной величины Snm(u) = limn_>o 5n(w) сосредоточено в точке а0 = 0 € Qp> Р5,.",({0}) = 1.}

Видимо, в р-адическом случае естественнее использовать статистические тесты, чем предельные теоремы. В противоположность обыкновенной вещественной теории вероятностей в р-адическом случае у нас нет общих предельных теорем для п —> оо (в смысле порядка на множестве N). Все предельные теоремы дают сходимость вероятностей для некоторых последовательностей щ —> оо, А' —> оо. Например, из того, что п_кр —" 0, щ Ф 0, следует, что п_к = jp^N, (j, р) = 1, N -> оо, а из соотношений |п* — 1|_/; —> 0, п_к Ф 1, следует', что п_к = 1 + jp^N, (j, p) = 1, N—^ ос, и так далее.