Погонная индуктивность витой пары на сверхвысоких частотах

Известно, что сверхвысокочастотное электромагнитное поле практически не проникает внутрь проводников, и электрический ток распределяется в весьма тонком слое по их поверхности. Толщина этого, так называемого, скин-слоя определяется соотношением [1].

.

где f — частота (Гц), 0=4107 (Гн/м) — магнитная постоянная, (См/м) удельная электропроводность провода. Например, на частоте f=3 ГГц в медных проводниках с удельной проводимостью =5.88 107 См/м толщина скин-слоя составляет всего 2.9 мкм, что, например, в 170 раз меньше радиуса провода миллиметрового диаметра.

Характер распределения тока в проводниках длинной линии определяется не только скин-эффектом, но и эффектом близости проводников. Поэтому распределение тока по поверхности проводников длинной линии (и витой пары) зависит от конфигурации ее поперечного сечения. Поверхностная плотность тока равна касательной к поверхности составляющей напряженности магнитного поля, т.к. определяется соотношением.

.

где орт внешней нормали к поверхности проводника, как показано на рис. 1.

Итак, чтобы найти поверхностную плотность тока в любой точке поверхности проводника, надо знать в этой точке. Воспользуемся первым типом соответствия электростатического и магнитного полей [2], при котором картина магнитных силовых линий рассматриваемой системы совпадает с картиной ее электростатических эквипотенциалей, а картина магнитных эквипотенциалей совпадает с картиной электрических силовых линий. Исходя из этого соответствия, можно внешнее, по отношению к проводам, магнитное поле двухпроводной линии представить как магнитное поле двух линейных токов, смещенных от оси проводников [3] на расстояние (см. рис. 1).

Напряженность магнитного поля в произвольной точке m (R,) поверхности правого проводника линии можно записать в виде суперпозиции полей двух бесконечно длинных нитей тока I, т. е.

Где.

.

Рис. 1 К расчету магнитного поля двухпроводной линии

Следовательно,.

Где.

.

Результаты расчета распределения продольного поверхностного тока по верхней полуокружности правого проводника (см. рис. 1) представлены на рис. 2. Картина распределения тока по нижней полуокружности симметрична. Абсолютные значения на рис. 2 приведены для R=0.5мм=0.0005м и силы тока в линии I=1 А. Интеграл от по периметру провода при любом R/a дает один и тот же результат — силу тока в проводе (в нашем случае I=1А).

Погонная индуктивность двухпроводной линии на СВЧ. Определение погонной индуктивности при неравномерном распределении тока удается произвести далеко не всегда. Как правило, это можно сделать при ярко выраженном скин-эффекте, когда ток распределен строго по поверхности проводников, а его распределение известно, например, оно определяется эффектом близости проводов кругового сечения, как в нашем случае.

Рассмотрим для начала бесконечно длинную двухпроводную линию. Выделим две нити тока di и di, как показано на рис. 3. Векторный потенциал, создаваемый током di в любой точке нити di равен.

.

а потенциал, создаваемый всеми поверхностными токами на данной нити тока, соответственно.

.

Рис. 3 К расчету бесконечно длинной двухпроводной линии

проводник ток напряженность магнитный Потенциал A (2) обеспечивает потокосцепление только с di нитью тока. Чтобы определить полное потокосцепление нитей di и di на участке l линии, функцию необходимо умножить на 2l, т.к. нить di имеет прямой и обратный участок. Полученный результат необходимо проинтегрировать по всем нитям тока di. Наконец, чтобы найти погонную индуктивность линии, полученную выше функцию надо разделить на длину участка l и квадрат силы тока в линии и вычислить интеграл.

. (1).

Здесь.

Сравним расчетные данные, полученные с помощью справочной формулы [4]:

(2).

для двухпроводной линии при весьма высокой частоте с результатом численного интегрирования (1). Рис. 4 иллюстрирует почти идеальное совпадение результатов (рис. 4, а): ошибка не превышает 0.07% в диапазоне изменения 1.05a/R4/0. Численное интегрирование проведено в среде MathCAD 2001.

Рис. 4 Сравнение результатов расчета по справочной формуле с результатами численного интегрирования

Погонная индуктивность витой пары на СВЧ. Строго говоря, погонную индуктивность витой пары L1S можно определить, зная угол наклона жилы и параметры поперечного сечения пары a, R. Для этого необходимо вычислить интеграл.

(3).

в котором [5].

(4).

где h — шаг витой пары, а функция.

Здесь при вычислении взаимной индуктивности (4) двух выделенных нитей с целью увеличения точности результатов функцию интегрируем в пределах не одного, а двух шагов витой пары. Геометрия сечения пары плоскостью z=0 приведена на рис. 5.

При вычислении интегралов используются следующие обозначения [5]:

; ,.

; .

;

Рис. 5 К расчету взаимной индуктивности двух выделенных нитей

Для вычисления интегралов (3) и (4) необходимы специальные программы, разработка которых требует дополнительных затрат сил и времени. В то же время можно предложить способ приближенного расчета погонной индуктивности, аналогичный способу, предложенному в [6]. При расчете погонной индуктивности витой пары на весьма высоких частотах тоже можно использовать принцип средних геометрических расстояний, и, как показывают расчеты, результаты имеют хорошее совпадение при a/R3.0. При этом эквидистантные нити тока должны смещаться относительно геометрических осей проводников на расстояние.

.

а средним геометрическим расстоянием [4] поверхностно распределенных токов будет .

Сравним взаимные погонные индуктивности одинаковых эквидистантных пар нитей поверхностного тока в длинной линии Ml и в аналогичной витой паре Ms при малом угле наклона жилы (). Абсолютные значения Ms приведены на рис. 6, а, а их относительное отличие от Ml (%) на рис. 6, б.

Рис. 6 Результаты расчета взаимных погонных индуктивностей (а); их относительное отличие от Ml (%) (б)

Итак, для эквидистантных нитей тока Ms практически идеально совпадает с Ml при любых значениях a/R (ошибка не превышает 0.06% и объясняется, скорее всего, погрешностью численного интегрирования). Такой результат позволяет предложить следующий алгоритм приближенного расчета погонной индуктивности витой пары при любом угле наклона жилы:

.

где Lc — справочное значение погонной индуктивности прямой длинной линии (3) при весьма высокой частоте [4], а.

корректирующая функция. Расчет корректирующей функции для эквидистантных нитей проведен в среде MathCAD 2001, а его результаты представлены в табл. 1 и иллюстрируются кривыми рис. 7.

Таблица № 1.

Корректирующая функция f (a/R,).

Рис. 7 Корректирующая функция для эквидистантных нитей

Выводы

• 1. Для витой пары любого поперечного сечения погонная индуктивность больше погонной индуктивности прямой линии такого же поперечного размера и при заданном a/R отличается тем больше, чем больше угол наклона жилы .
• 2. Это отличие тем больше, чем больше a/R: например, при =20о витая пара с a/R=3.0 имеет погонную индуктивность на 8.7% больше чем соответствующая прямая линия, а при a/R=1.1 — только на 6.6%.

Результаты исследований изложенные в данной статье получены при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации проекта «Создание высокотехнологичного производства по изготовлению информационно-телекоммуникационных комплексов спутниковой навигации ГЛОНАСС/GPS/Galileo» по постановлению правительства № 218 от 09.04.2010 г.

• 1. Рамо С., Уиннери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике. [Текст] / Пер. с англ. // Под ред. Ю. Б. Кобзева. М: Мир. 1960 г.
• 2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. [Текст] / М: Высшая школа. 1978 г.
• 3. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. [Текст] / М: «Сов. радио». 1971 г.
• 4. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. [Текст] / Справочная книга. Л: Энергия. 1970 г. 416 с.